C Rappels mathématiques : probabilités
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est définie sur un intervalle non réduit à 0, alors elle caractérise la loi de X, et
les moments, lorsqu’ils existent, sont donnés par les dérivées en 0 : L
(k)
X (0) =
(−1) k E(X k ). Pour cette raison, la transformée de Laplace est aussi appelée fonction
génératrice des moments.
Lorsque X et Y sont indépendantes, alors L X+Y = L X L Y .
C.3 Quelques lois de probabilité usuelles
C.3.1 Loi de Poisson
Soit λ un réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de
Poisson de paramètre λ lorsque X est à valeurs dans N et pour tout entier j ∈ N,
P(X = j ) = e
−λ λ j
j !
.
Pour une variable aléatoire X de loi de Poisson de paramètre λ, moyenne, variance,
fonction génératrice de probabilité et transformée de Laplace sont données par
E(X) = Var(X) = λ ; E
s
X
= e
λ(s−1)
; E
e
−tX
= e
λ(e −t −1) .
Une propriété intéressante de cette loi est la suivante. Si un nombre aléatoire d’objets
suit une loi de Poisson de paramètre λ et si (deuxième aléa) chaque objet est
sélectionné avec probabilité p, alors le nombre final d’objets sélectionnés suit une
loi de Poisson de paramètre λp. La proposition suivante en est une déclinaison utile.
Proposition C.5 Soit (x n ) une suite de variables aléatoires indépendantes et de
même loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. Soit N une variable aléatoire de loi de
Poisson de paramètre λ. Pour tout sous-intervalle I de [0, 1], de longueur |I |
appelons N I le nombre de points parmi x 1 , . . . , x N qui tombent dans l’intervalle
I : N I = |{m ≤ N, x m ∈ I }|. Alors
(i) N I est de loi de Poisson de paramètre λ|I |.
(ii) Si I et J sont disjoints, alors N I et N J sont indépendants.
C.3.2 Loi exponentielle, horloges exponentielles
Soit λ un réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi
exponentielle de paramètre λ lorsque X est à valeurs dans R + = [0, +∞[ et a pour