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C Rappels mathématiques : probabilités
moments de X se déduisent de la série génératrice. Par exemple,
E(X) =
+∞
n=0
nP(X = n) =
+∞
k=1
P(X ≥ k) = G
X (1),
E(X
2 ) = G
X (1) + G
X (1).
Il ne faut pas oublier que certains moments peuvent valoir +∞, et qu’en toute
rigueur, on devrait plutôt dire lim s→1,s<1 G
X (s) = E(X).
Un grand intérêt des fonctions génératrices vient de la proposition suivante.
Proposition C.2 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs
dans N. Alors, sur le disque fermé de centre 0 et de rayon 1,
G X+Y = G X G Y .
Les fonctions génératrices de probabilité (y compris lorsqu’on omet « de
probabilité ». . . ) ne doivent pas être confondues avec les séries génératrices de
dénombrement définies en section B.1.
C.2 Transformée de Fourier : Transformée de Laplace
Définition C.3 Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles. La fonction caractéristique de X est la transformée de Fourier de sa loi de probabilité, à savoir la
fonction de R dans C définie par
X (t) := E
e
itX
.
La fonction caractéristique de X est définie pour tout t ∈ R, elle dépend uniquement
de la loi de X et c’est une fonction continue de module inférieur ou égal à 1. En
outre, X (0) = 1.
Lorsque X et Y sont indépendantes, alors X+Y = X Y .
Définition C.4 Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles. La transformée de
Laplace de X (ou de la loi de X) est la fonction définie par
L X (t) := E
e
−tX
.
Parfois on appelle transformée de Laplace E
e tX
; bien sûr cela ne change pas
grand-chose. Contrairement à la transformée de Fourier, la transformée de Laplace
n’est généralement pas définie pour tout t. Si X est à valeurs positives, alors sa
transformée de Laplace est au moins définie sur R + . Si la transformée de Laplace