Appendice C
Rappels mathématiques : probabilités
Nous supposons connues les bases de l’intégration, de la théorie de la mesure et des
probabilités : tribu, mesure, fonction mesurable, théorème de convergence dominée
et de convergence monotone, lemme de Fatou, transformée de Laplace, de Fourier,
espace probabilisé, mesure de probabilité, variable aléatoire, . . . qui se trouvent par
exemple dans le livre de Garet et Kurtzmann [116]. Les éléments ci-dessous, que
l’on peut trouver dans des livres de probabilités de base comme celui de Durrett [74],
sont très hétérogènes et ont seulement vocation à faciliter la lecture du livre.
Dans ce qui suit, P est une probabilité sur A, tribu sur un ensemble . Nous
parlons indifféremment de loi ou de distribution d’une variable aléatoire.
C.1 Fonction génératrice de probabilité. Moments d’une
variable aléatoire discrète
Définition C.1 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On appelle fonction
génératrice de probabilité ou série génératrice, la série entière
G X (s) := E
s
X
=
+∞
n=0
P(X = n)s
n .
Comme G X (1) = 1, cette série entière a un rayon de convergence supérieur ou égal
à 1. Il suffit d’extraire les coefficients de cette série pour retrouver la loi de X, de
sorte que la série génératrice caractérise la loi de X. Il est facile de voir que les
© Springer Nature Switzerland AG 2018
B. Chauvin et al., Arbres pour l’Algorithmique, Mathématiques et Applications 83,
https://doi.org/10.1007/978-3-319-93725-0
467
Rappels mathématiques : probabilités
Nous supposons connues les bases de l’intégration, de la théorie de la mesure et des
probabilités : tribu, mesure, fonction mesurable, théorème de convergence dominée
et de convergence monotone, lemme de Fatou, transformée de Laplace, de Fourier,
espace probabilisé, mesure de probabilité, variable aléatoire, . . . qui se trouvent par
exemple dans le livre de Garet et Kurtzmann [116]. Les éléments ci-dessous, que
l’on peut trouver dans des livres de probabilités de base comme celui de Durrett [74],
sont très hétérogènes et ont seulement vocation à faciliter la lecture du livre.
Dans ce qui suit, P est une probabilité sur A, tribu sur un ensemble . Nous
parlons indifféremment de loi ou de distribution d’une variable aléatoire.
C.1 Fonction génératrice de probabilité. Moments d’une
variable aléatoire discrète
Définition C.1 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On appelle fonction
génératrice de probabilité ou série génératrice, la série entière
G X (s) := E
s
X
=
+∞
n=0
P(X = n)s
n .
Comme G X (1) = 1, cette série entière a un rayon de convergence supérieur ou égal
à 1. Il suffit d’extraire les coefficients de cette série pour retrouver la loi de X, de
sorte que la série génératrice caractérise la loi de X. Il est facile de voir que les
© Springer Nature Switzerland AG 2018
B. Chauvin et al., Arbres pour l’Algorithmique, Mathématiques et Applications 83,
https://doi.org/10.1007/978-3-319-93725-0
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