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B Rappels mathématiques : combinatoire
– Polynômes Gamma : pour tout nombre complexe α non entier négatif, pour tout
réel positif u, lorsque n tend vers +∞,
n−1
k=0
1 +
α
u + k
= n
α (u)
(u + α)
1 + O
1
n
.
(B.4)
B.5.2 Convergence de produits infinis
Soit (u n ) une suite de réels positifs. Le produit infini
n≥1
(1+u n ) est dit (strictement)
convergent lorsque la limite quand N tend vers l’infini de
N
n=1
(1 + u n ) existe et est
non nulle.
Proposition B.17 (critère de convergence) Supposons tous les u n réels positifs.
Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) le produit infini
n≥1
(1 + u n ) converge ;
(ii) la série
n≥1
log(1 + u n ) converge ;
(iii) la série
n≥1
u n converge.