B Rappels mathématiques : combinatoire
463
qui contient une composante périodique en log x de période 2π/t. Ce sont ces
phénomènes de fluctuations qui rendent la transformée de Mellin si utile puisqu’ils
sont difficilement accessibles par d’autres méthodes.
B.4.4 Sommes harmoniques
Définition B.15 Une somme de la forme
G(x) =
k∈K
λ k g(μ k x),
où l’ensemble K est fini ou infini dénombrable, les λ k sont réels, les μ k sont réels
strictement positifs, est appelée somme harmonique. Les ensembles {λ k } k∈K et
{μ k } k∈K forment respectivement l’ensemble des amplitudes et des fréquences. La
fonction g(x) est appelée fonction de base de la somme harmonique.
Dans la suite, seuls les développements asymptotiques en +∞ nous intéressent.
Nous allons donc seulement nous intéresser aux sommes harmoniques dont les
fréquences harmoniques μ k tendent vers 0. La série de Dirichlet associée à une
somme harmonique est
(s) =
k∈K
λ k μ k
−s .
La transformée de Mellin d’une somme harmonique finie s’écrit
G
(s) =
(s).
On peut étendre cette formule aux sommes harmoniques infinies sous les conditions
du théorème des sommes harmoniques ci-dessous. Ce théorème permet de garantir
la convergence d’une somme harmonique et d’en obtenir son développement
asymptotique.
Théorème B.16 (Sommes harmoniques) Soit G(x) une somme harmonique,
G(x) =
k∈K
λ k g(μ k x),
telle que :
1. la fonction g est continue sur ]0, +∞[ et g a pour bande fondamentale α, β ;
2. la série de Dirichlet (s) =
k∈K λ k μ k
−s , associée à G(x), converge
simplement sur un demi-plan {{(s) < σ }.