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B Rappels mathématiques : combinatoire
Supposons de plus que
(i) σ > α, c’est-à-dire que le demi-plan de convergence simple de (s) a
une intersection non vide avec la bande fondamentale α, β. Notons β =
inf(β, σ ).
(ii) Il existe un nombre réel γ > β tel que g et admettent un prolongement
méromophe sur α, γ et sont analytiques sur (s) = γ .
(iii) Il existe un réel η ∈]α, β [ et une suite réelle (T j ) j ∈N strictement croissante
divergeant vers +∞ tels que, pour |s| → +∞,
g (s) = O(|s| −k ), pour tout entier k ≥ 1,
(s) = O(|s| r ), pour un entier r ≥ 1,
sur la réunion sur j des segments {s ∈ C | |(s) ∈ [γ , η] , (s) = T j } quand
||(s)| = |T j | → +∞.
Alors la somme harmonique G(x) converge sur ]0, +∞[ et sa transformée G (s)
est bien définie sur
α, β
et s’écrit G (s) = (s). Si G (s) admet de plus
comme partie singulière
G
(s)
ζ,k
d ζ,k
1
(s − ζ ) k
(s ∈ γ , η),
alors le développement asymptotique de G(x) en +∞ est
G(x) =
ζ,k
d ζ,k
(−1) k
(k − 1)!
x
−ζ (log x)
k−1
+ O(x
−γ ).
B.5 Divers
B.5.1 Quelques notations, fonctions, formules élémentaires
– Logarithme itéré (lu « log star » ou « log étoile ») : c’est le nombre de fois où il
faut appliquer le logarithme en base 2 à un réel positif, avant d’obtenir un résultat
inférieur ou égal à 1. Formellement, il est défini par :
log
∗ x =
0
pour x ≤ 1,
1 + log ∗ ( log 2 x) pour x > 1.
– Nombres harmoniques : pour n ≥ 1,
H n = 1 +
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n
.