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B Rappels mathématiques : combinatoire
Définition B.13 Soit une fonction méromorphe sur un ouvert et soit S ⊆
l’ensemble des pôles de contenus dans . La partie singulière de sur est la
somme formelle des parties singulières de en chacun des points de S.
Notation Si E est la partie singulière de sur , on utilise la notation
E
(s ∈ ).
Exemple :
s 5 − s 2 + 1
s 2 (s + 1)
−1
s + 1
+
1
s 2 −
1
s
(s ∈ −2, 2)
La notion de partie singulière d’une fonction méromorphe sur un ouvert ⊆ C
étant définie, on peut énoncer le théorème suivant qui relie la partie singulière de la
transformée de Mellin d’une fonction avec le développement asymptotique en +∞.
Ce théorème et sa preuve se trouvent dans [100, Cor. du Th. 4].
Théorème B.14 Soit f une fonction continue sur ]0, +∞[ dont la transformée de
Mellin f admet une bande fondamentale non vide α, β. On suppose que
(i) f (s) admet un prolongement méromorphe sur α, γ avec γ > β, et est
analytique sur (s) = γ .
(ii) Il existe un réel η ∈]α, β[, un entier r > 1 et une suite réelle (T j ) j ∈N
strictement croissante divergeant vers +∞ tels que, pour |s| → +∞,
f
(s) = O(|s|
−r ),
sur la réunion sur j des segments {s ∈ C | |(s) ∈ [η, γ ] , (s) = T j }, quand
||(s)| = |T j | → +∞.
Si f (s) admet comme partie singulière
f
(s)
ζ,k
d ζ,k
1
(s − ζ ) k
(s ∈ η, γ ),
alors le développement asymptotique de f (x) en +∞ est
f (x) =
ζ,k
d ζ,k
(−1) k
(k − 1)!
x
−ζ (log x)
k−1
+ O(x
−γ ).
Fluctuations périodiques Un pôle de f en un point ζ = σ + it non réel introduit
dans le développement asymptotique un terme de la forme
x
−ζ
= x
−σ e
−it log x