B Rappels mathématiques : combinatoire
461
directement les propriétés suivantes 1 :
(i) mellin[f (μx); s] = μ −s f (s)
s ∈ α, β , μ > 0
(ii) mellin[λf (x); s] = λf (s)
s ∈ α, β
(iii) mellin[
k∈K λ k f (μ k x); s] = (
k∈K λ k μ
−s
k )f (s) s ∈ α, β , μ k > 0, K fini
(iv) mellin[f (
1
x ); s] = f (−s)
s ∈ −β, −α .
Les propriétés (i) et (ii) s’obtiennent facilement grâce à la linéarité de l’intégration
et un changement de variable. (iii) découle directement de (i) et (ii). On verra
plus loin qu’on peut étendre cette formule sous certaines conditions au cas où
l’ensemble K est infini. Enfin, un changement de variable permet d’obtenir (iv).
Cette dernière formule permet de ne chercher que le comportement asymptotique en
0 + (resp. en +∞), puisque le développement asymptotique de g(x) en +∞ (resp.
0 + ) se ramène à celui de f (x) = g(
1
x ) en 0 + (resp. +∞).
B.4.3 Propriétés asymptotiques
Il y a une correspondance précise entre le développement asymptotique d’une
fonction en 0 (resp. +∞), et les pôles de la transformée de Mellin dans un demiplan gauche (resp. droit) par rapport à la bande fondamentale. Chaque terme du
développement asymptotique de f de la forme x c (log x) k correspond à un pôle
d’ordre k + 1 de sa transformée f en s = −c. Mais cette correspondance sera
utilisée dans le sens inverse. Pour déterminer le développement asymptotique d’une
fonction f (x), on calcule la transformée de Mellin f (s) et chaque pôle de f
donnera un terme du développement asymptotique de f .
Soit une fonction méromorphe en s = s 0 et supposons que s 0 est un pôle
d’ordre r où r ≥ 1. Sa série de Laurent au voisinage de s 0 est
=
+∞
k=−r
c k (s − s 0 )
k .
La partie singulière de en s = s 0 est
−1
k=−r
c k (s − s 0 )
k .
1 La notation mellin[f (x); s] au lieu de mellin[f ; s] est adoptée ici par commodité.
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directement les propriétés suivantes 1 :
(i) mellin[f (μx); s] = μ −s f (s)
s ∈ α, β , μ > 0
(ii) mellin[λf (x); s] = λf (s)
s ∈ α, β
(iii) mellin[
k∈K λ k f (μ k x); s] = (
k∈K λ k μ
−s
k )f (s) s ∈ α, β , μ k > 0, K fini
(iv) mellin[f (
1
x ); s] = f (−s)
s ∈ −β, −α .
Les propriétés (i) et (ii) s’obtiennent facilement grâce à la linéarité de l’intégration
et un changement de variable. (iii) découle directement de (i) et (ii). On verra
plus loin qu’on peut étendre cette formule sous certaines conditions au cas où
l’ensemble K est infini. Enfin, un changement de variable permet d’obtenir (iv).
Cette dernière formule permet de ne chercher que le comportement asymptotique en
0 + (resp. en +∞), puisque le développement asymptotique de g(x) en +∞ (resp.
0 + ) se ramène à celui de f (x) = g(
1
x ) en 0 + (resp. +∞).
B.4.3 Propriétés asymptotiques
Il y a une correspondance précise entre le développement asymptotique d’une
fonction en 0 (resp. +∞), et les pôles de la transformée de Mellin dans un demiplan gauche (resp. droit) par rapport à la bande fondamentale. Chaque terme du
développement asymptotique de f de la forme x c (log x) k correspond à un pôle
d’ordre k + 1 de sa transformée f en s = −c. Mais cette correspondance sera
utilisée dans le sens inverse. Pour déterminer le développement asymptotique d’une
fonction f (x), on calcule la transformée de Mellin f (s) et chaque pôle de f
donnera un terme du développement asymptotique de f .
Soit une fonction méromorphe en s = s 0 et supposons que s 0 est un pôle
d’ordre r où r ≥ 1. Sa série de Laurent au voisinage de s 0 est
=
+∞
k=−r
c k (s − s 0 )
k .
La partie singulière de en s = s 0 est
−1
k=−r
c k (s − s 0 )
k .
1 La notation mellin[f (x); s] au lieu de mellin[f ; s] est adoptée ici par commodité.