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B Rappels mathématiques : combinatoire
B.4.1 Définitions
Dans la suite, la notation α, β désignera la bande ouverte du plan complexe {s ∈
C , (s) ∈]α, β[ }.
Définition B.11 (Transformée de Mellin) Soit f : ]0, ∞[ → R une fonction
localement intégrable sur ]0, ∞[. La transformée de Mellin de f , aussi notée f ,
est définie par
mellin[f ; s] = f
(s) =
+∞
0
f (x)x
s−1 dx.
La plus grande bande α, β sur laquelle l’intégrale converge est appelée bande
fondamentale de f .
Exemple La fonction exponentielle f (x) = e −x a pour transformée la fonction
Gamma avec pour bande fondamentale 0, +∞. Pour b entier positif, on définit le
reste d’ordre b de la fonction exponentielle, disons e b (z), par
e b (z) = e
−z
− 1 + z −
z 2
2!
+ · · · + (−1)
b−1 z b−1
b!
.
Cette fonction interviendra dans l’analyse pour b = 1 et b = 2. On calcule immédiatement grâce à un changement de variables la transformée de e b (x) :
mellin[e b ; s] =
s ∈ −b, −b + 1 .
Remarque B.12 En coupant l’intégrale en deux,
∞
0 =
1
0 +
∞
1 , on voit que les
conditions
f (x) =
x→0 +
O(x
u ), f (x) =
x→∞
O(x
v ),
garantissent, si u > v, que f (s) existe dans la bande −u, −v. Ainsi apparaît le
rapport entre le développement asymptotique de f en 0 (resp. en +∞) et la frontière
gauche (resp. droite) de la bande fondamentale de f .
B.4.2 Propriétés fonctionnelles
Soit f : ]0, ∞[ → R une fonction localement intégrable sur ]0, ∞[ dont la
transformée de Mellin admet α, β comme bande fondamentale. On peut établir
B Rappels mathématiques : combinatoire
B.4.1 Définitions
Dans la suite, la notation α, β désignera la bande ouverte du plan complexe {s ∈
C , (s) ∈]α, β[ }.
Définition B.11 (Transformée de Mellin) Soit f : ]0, ∞[ → R une fonction
localement intégrable sur ]0, ∞[. La transformée de Mellin de f , aussi notée f ,
est définie par
mellin[f ; s] = f
(s) =
+∞
0
f (x)x
s−1 dx.
La plus grande bande α, β sur laquelle l’intégrale converge est appelée bande
fondamentale de f .
Exemple La fonction exponentielle f (x) = e −x a pour transformée la fonction
Gamma avec pour bande fondamentale 0, +∞. Pour b entier positif, on définit le
reste d’ordre b de la fonction exponentielle, disons e b (z), par
e b (z) = e
−z
− 1 + z −
z 2
2!
+ · · · + (−1)
b−1 z b−1
b!
.
Cette fonction interviendra dans l’analyse pour b = 1 et b = 2. On calcule immédiatement grâce à un changement de variables la transformée de e b (x) :
mellin[e b ; s] =
s ∈ −b, −b + 1 .
Remarque B.12 En coupant l’intégrale en deux,
∞
0 =
1
0 +
∞
1 , on voit que les
conditions
f (x) =
x→0 +
O(x
u ), f (x) =
x→∞
O(x
v ),
garantissent, si u > v, que f (s) existe dans la bande −u, −v. Ainsi apparaît le
rapport entre le développement asymptotique de f en 0 (resp. en +∞) et la frontière
gauche (resp. droite) de la bande fondamentale de f .
B.4.2 Propriétés fonctionnelles
Soit f : ]0, ∞[ → R une fonction localement intégrable sur ]0, ∞[ dont la
transformée de Mellin admet α, β comme bande fondamentale. On peut établir