B Rappels mathématiques : combinatoire
459
Par exemple, la fonction génératrice des arbres de Catalan
1−
√
1−4z
2
est camembert en 1/4.
Par définition, lorsqu’une fonction est holomorphe en 0, ses singularités dominantes sont ses singularités à distance minimale de 0, c’est-à-dire de plus petit
module. Autrement dit, ce sont les nombres complexes du cercle de convergence de
sa série de Taylor en 0 en lesquels la fonction est singulière. Supposons ici qu’une
fonction holomorphe en 0 n’a qu’une seule singularité dominante ζ et qu’elle y est
camembert.
Théorème B.10 (Lemme de transfert) Soit f une fonction camembert en ζ . On
suppose que σ et ρ sont deux fonctions de l’échelle log-puissance (au point ζ ) telles
que, lorsque z tend vers ζ en restant inclus dans le camembert ouvert,
f (z) = Cσ (z) + O (ρ(z)) .
Alors, lorsque n tend vers +∞,
[z
n
]f (z) = C[z
n
]σ (z) + O
[z
n
]ρ(z)
.
Notons que le O n’a vraiment de sens que lorsque l’ordre en ζ de σ est supérieur à
l’ordre en ζ de ρ.
B.4 Transformée de Mellin
La transformée de Mellin est omniprésente pour l’analyse en moyenne sur les
tries. C’est un des moyens les plus directs et élégants pour parvenir à extraire le
comportement asymptotique d’une somme harmonique tout en mettant en évidence
d’éventuels phénomènes oscillatoires de très faible amplitude.
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Par exemple, la fonction génératrice des arbres de Catalan
1−
√
1−4z
2
est camembert en 1/4.
Par définition, lorsqu’une fonction est holomorphe en 0, ses singularités dominantes sont ses singularités à distance minimale de 0, c’est-à-dire de plus petit
module. Autrement dit, ce sont les nombres complexes du cercle de convergence de
sa série de Taylor en 0 en lesquels la fonction est singulière. Supposons ici qu’une
fonction holomorphe en 0 n’a qu’une seule singularité dominante ζ et qu’elle y est
camembert.
Théorème B.10 (Lemme de transfert) Soit f une fonction camembert en ζ . On
suppose que σ et ρ sont deux fonctions de l’échelle log-puissance (au point ζ ) telles
que, lorsque z tend vers ζ en restant inclus dans le camembert ouvert,
f (z) = Cσ (z) + O (ρ(z)) .
Alors, lorsque n tend vers +∞,
[z
n
]f (z) = C[z
n
]σ (z) + O
[z
n
]ρ(z)
.
Notons que le O n’a vraiment de sens que lorsque l’ordre en ζ de σ est supérieur à
l’ordre en ζ de ρ.
B.4 Transformée de Mellin
La transformée de Mellin est omniprésente pour l’analyse en moyenne sur les
tries. C’est un des moyens les plus directs et élégants pour parvenir à extraire le
comportement asymptotique d’une somme harmonique tout en mettant en évidence
d’éventuels phénomènes oscillatoires de très faible amplitude.