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5 Approche probabiliste
Montrer que l’on a la relation de récurrence
(R)
G n,k (s) = f
G n−1,k (s) + G n−1,k−1 (s)
2
4. Posons pour tout entier k,
p n,k = P(λ(n, k) = 0).
Déduire de la relation (R) que p n,k vérifie la relation de récurrence
(r)
p n,k = f
p n−1,k + p n−1,k−1
2
5. Posons pour tout entier k,
q n,k = P(∀j ≤ k, λ(n, j ) = 0)
et
L n = inf{k ∈ N tels que λ(n, k) > 0} = inf support(Z
(n) )
(a) Montrer que q n,k vérifie la même relation de récurrence (r) (on pourra faire un raisonnement
analogue à celui fait à la question (3)(b)).
(b) Quel est le sens de variation de q n,k par rapport à n ? par rapport à k ?
(c) Reporter L n sur le dessin de la question (1). Montrer que L n est croissant en n et montrer
que
P(L n > k) = q n,k
(d) Montrer que L n converge (dans un sens que l’on précisera) vers une limite L telle que
P(L > k) = q k
où q k est solution de l’équation
q k = f
q k + q k−1
2
.
6. On rappelle la terminologie : pour tout θ > 0,
m(θ) = E
⎛
⎝
M
j =1
e
−θX j
⎞
⎠
(a) Calculer m(θ) dans le cas de la marche aléatoire traitée ici.
(b) Montrer que pour tout θ ≥ 0,
log m(θ) − θ
m (θ)
m(θ)
> 0.
Dessiner m(θ) et log m(θ) pour θ ≥ 0. Que dit alors le théorème de Biggins ?