5.4 Exercices et problèmes
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Problème 5.9. (Une marche aléatoire branchante simple) Dans tout le problème, on considère une marche aléatoire avec branchement particulière, partant d’un ancêtre situé en 0, donnée
par une loi de reproduction (p k ) k∈N , et par un processus ponctuel Z sur R :
Z =
M
j =1
δ X j
où X j désigne la position de la j -ième particule créée et M désigne le nombre de descendants
de l’ancêtre. On suppose que les déplacements des particules sont 0 ou 1 avec probabilité 1/2,
autrement dit
P(X j = 0) = P(X j = 1) = 1/2,
autrement dit encore, une particule créée à partir d’un point x de R se déplace en x + 1 avec
probabilité 1/2 et ne bouge pas avec probabilité 1/2. On supposera que la reproduction et les
déplacements sont indépendants entre eux. On suppose que la reproduction vérifie
m = E(M) > 2
et
E(M
2 ) < ∞
et on note f la fonction génératrice de la reproduction :
f (s) = E(s
M ) =
k≥0
p k s
k .
Appelons Z n le cardinal de la n-ième génération (Z 1 = M) et appelons Z (n) la mesure
ponctuelle des positions des particules de la n-ième génération (Z (1) = Z) :
Z
(n) =
|u|=n
δ Xu .
La position de la particule u est appelée X u et le déplacement de la particule u est appelé γ u . Les
déplacements valent 0 ou 1 et la position d’une particule u = i 1 i 2 . . . i n est
X u = γ i 1 + γ i 1 i 2 + . . . γ i 1 i 2 ...in
L’objet du problème est de comprendre où sont les particules, quand n devient grand.
1. Faire un dessin de cette marche aléatoire avec branchement.
2. Y a-t-il extinction du processus ? Avec quelle probabilité ?
3.
(a) Montrer que le support de la mesure Z (n) , c’est-à-dire Z (n) (R) est contenu dans N ∩ [0, n].
(b) pour tout entier k, appelons
λ(n, k) = Z
(n) ({k}) =
u,|u|=n
1 {Xu=k}
le nombre de particules situées en k à la n-ième génération et notons
G n,k (s) = E
s
λ(n,k)
la fonction génératrice de λ(n, k).