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5 Approche probabiliste
1.
(a) Rappeler la relation entre les fonctions f n et f . Dessiner la fonction f .
(b) Quelle est, pour tout t fixé, t ∈ [0, 1], la limite quand n → +∞ de f n (t) ? En déduire la
limite quand n → +∞ de P(Z n > 0).
(c) Montrer que E(Z n | Z n > 0) =
1
P(Z n > 0)
.
2. Dans cette question, on traite un cas particulier de processus de Galton-Watson. Pour p ∈]0, 1[
fixé, posons p 0 = p et pour k ≥ 1, p k = (1 − p) 2 p k−1 .
(a) Calculer la moyenne m de cette loi et la variance que l’on notera σ 2 .
(b) Montrer que la fonction génératrice est
f (s) =
p − (2p − 1)s
1 − ps
et que
f n (s) =
np − (np + p − 1)s
1 − p + np − nps
(c) En déduire l’égalité suivante
1
n
1
1 − f n (t)
−
1
1 − t
=
σ 2
2
.
(5.17)
On admettra dans la suite que dans le cas général d’un Galton-Watson critique de variance
finie σ 2 , on a toujours
lim
n→∞
1
n
1
1 − f n (t)
−
1
1 − t
=
σ 2
2
.
(5.18)
3.
(a) Soit X une variable aléatoire réelle de loi exponentielle de paramètre λ, c’est-à-dire de
densité λe −λu 1 [0,+∞[ (u), soit encore
P(X > x) = e
−λx .
Calculer la transformée de Laplace de X : ϕ(α) = E(e −αX ).
(b) Montrer que
E(e
−α
Zn
n
| Z n > 0) =
f n (e −α/n ) − f n (0)
1 − f n (0)
.
(c) Déduire de l’égalité (5.18) la limite quand n → +∞ de E(e
−α
Zn
n
| Z n > 0).
(d) Que peut-on dire de la loi conditionnelle limite de Z n /n trouvée à la question précédente
par sa transformée de Laplace ?
(e) Trouver de deux manières différentes un équivalent de E(Z n | Z n > 0).