5.4 Exercices et problèmes
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(a) Montrer que
P(Z n > 0)
m n
=
1
xdμ n (x)
.
(b) Montrer que la suite
P(Z n > 0)
m n
n
est décroissante et que
lim
n→+∞
P(Z n > 0)
m n
> 0 ⇐⇒ sup
n
E(Z n | Z n > 0) < ∞.
4. Admettons le théorème d’immigration suivant : soit Z n les tailles des générations dans un
processus de Galton-Watson avec immigration Y n . Supposons que m, moyenne de la loi de
reproduction est < 1. Si E(log + Y ) < ∞, alors Z n converge en loi vers Z ∞ . Si E(log + Y ) = ∞,
alors Z n converge en probabilité vers +∞.
Montrer alors l’équivalence
k≥1
(k log k) p k < ∞ ⇐⇒ sup
n
E(Z n | Z n > 0) < ∞.
On pourra utiliser l’arbre biaisé et sa traduction en termes de processus avec immigration, puis
calculer P(Z n = k) pour tout k ≥ 1.
Problème 5.7. (Galton-Watson et martingale des enfants) Soit (Z n ) un processus de GaltonWatson de moyenne m > 1 et de loi de reproduction (p k ) k∈N . Appelons M le nombre d’enfants
de l’ancêtre, de sorte que
P(M = k) = p k
m =
+∞
k=0
kp k .
Supposons que
Var(M) = E(M
2 ) − m
2 < ∞ .
Appelons W n =
Z n
m n la martingale associée. Nous savons déjà que W n converge presque sûrement
vers une limite W . Le but de l’exercice est de montrer la convergence de W n dans L 2 .
1. Calculer l’espérance conditionnelle E(Z 2
n
F n−1 ). En déduire une relation de récurrence sur
E(Z 2
n ). Calculer E(Z 2
n ) en fonction de m et Var(M).
2. Montrer que E(W 2
n ) est bornée. En déduire que la martingale W n converge dans L 2 vers W .
3. Ecrire le théorème ainsi montré. Comment relier ce résultat au théorème de Kesten-Stigum ?
Problème 5.8. (Encore un Galton-Watson) Dans tout le problème, on considère un processus
de Galton-Watson (Z n ) n∈N , critique, donné par sa loi de reproduction (p k ) k∈N , de fonction
génératrice f et de moyenne
m =
k≥0
k p k = 1
On notera f n la fonction génératrice de Z n .