210
5 Approche probabiliste
Dans cette marche, l’ancêtre a exactement 2 descendants, comme dans la bisection, mais ils sont
tous les deux situés au même endroit, en γ 1 = γ 2 = − log U . Ecrire la transformée de Laplace
m(θ) et son logarithme (θ). Ecrire la martingale additive que l’on appellera M GEN
n
(θ). Que
remarque-t-on ?
Problème 5.6. (Processus de Galton-Watson sous-critiques) Dans tout le problème, un
processus de Galton-Watson (Z n ) n∈N , sous-critique est donné par sa loi de reproduction (p k ) k∈N ,
de fonction génératrice f et de moyenne
m =
k≥0
k p k < 1.
La fonction génératrice de Z n est notée f n . Les notions utiles d’espérance conditionnelle sont en
annexe C.7.
Partie A :
1. Rappeler la relation entre les fonctions f n et f .
2. Posons pour tout réel s ∈ [0, 1]
g n (s) = E(s
Zn | Z n > 0)
Exprimer g n en fonction de f n .
3. Posons pour tout réel s ∈ [0, 1]
k(s) =
1 − f (s)
1 − s
Montrer que
1 − g n (s) =
k(f n−1 (s))
k(f n−1 (0))
(1 − g n−1 (s))
en déduire que la suite (1 − g n (s)) n∈N est croissante et montrer la convergence de g n vers une
fonction g, quand n → +∞.
4. Montrer que
1 − g n (f (s)) = (1 − g n+1 (s)) k(f n (0))
et en déduire que g(1) = 1.
5. En déduire le théorème de Yaglom : pour un processus de Galton-Watson sous-critique, il existe
une loi limite du processus conditionné par la non-extinction, c’est-à-dire
P(Z n = j | Z n > 0)
n→∞
−→ Q(j )
où Q est une loi de probabilité sur N non dégénérée.
Partie B :
Pour tout entier n ≥ 1, appelons ξ n le sommet de la première génération de l’arbre de GaltonWatson, qui est le plus à gauche parmi les sommets qui ont des descendants dans la n-ième
génération. Autrement dit (avec les notations de ce chapitre),
ξ n = inf{j ∈ N tels que (z n ∩ T j ) non vide | Z n > 0}
Appelons A n le nombre de descendants de ξ n à la n-ième génération.
1. Faire un dessin.
2. Comparer la loi de A n sachant Z n > 0 et la loi de Z n−1 sachant Z n−1 > 0.
3. Appelons μ n la loi de Z n sachant Z n > 0.