5.4 Exercices et problèmes
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1. On suppose (par l’absurde) qu’il existe un espace probabilisé sur lequel sont définis tous les τ n
et tel que la suite (τ n ) est croissante au sens de l’inclusion. À l’aide du théorème 5.9, montrer
que p.s.
n≥1
τ n = τ
où τ est un arbre biaisé.
2. Pour tout k ≥ 1, appelons Z k (τ ) le nombre de nœuds de la k-ième génération d’un arbre τ .
Montrer que EZ k ( τ ) = 1 + kσ 2 et en déduire la propriété :
∀k ≥ 1, ∀n ≥ 1,
EZ k (τ n ) ≤ 1 + kσ
2 .
(5.16)
3. Soit ε > 0. Soit le processus de Galton-Watson de loi de reproduction donnée par
p 0 =
1 − ε
2
,
p 1 = ε,
p 2 =
1 − ε
2
.
Calculer la moyenne et la variance de cette loi. Pour n = 3, respectivement n = 4, dessiner les
2, respectivement 4 arbres τ n possibles, et calculer la loi de τ n . En déduire que
EZ 1 (τ 3 ) = 2 + O(ε
2 ),
EZ 1 (τ 4 ) =
5
3
+ O(ε
2 ).
Montrer que pour ε suffisamment petit, (5.16) n’est pas vérifiée pour n = 3 et EZ 1 (τ n ) >
EZ 1 (τ n+1 ) pour n = 3.
4. Conclure.
Problème 5.5. (Un exemple de marche aléatoire branchante : la bisection) Le modèle de la
bisection est appelé aussi “Kolmogorov’s rock”. Dans ce modèle, un objet est de masse 1 à l’instant
0. A l’instant 1, il se brise en deux objets de masse U et 1 − U où U est une variable aléatoire de
loi uniforme sur l’intervalle ]0, 1[. Les deux morceaux évoluent ensuite indépendamment l’un de
l’autre. A l’instant n, il y a 2 n morceaux, et chacun se brise à l’instant n + 1 en deux morceaux de
taille respectivement U fois sa taille et (1−U) fois sa taille. Ainsi la masse de chaque morceau est le
produit de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur ]0, 1[. En prenant les logarithmes
de ces variables, le modèle devient additif, c’est une marche aléatoire branchante.
Avec les notations de la section 5.3, soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur ]0, 1[. Soit
le processus ponctuel Z défini par
Z = δ − log U + δ − log(1−U) .
Il définit une marche aléatoire branchante dans laquelle l’ancêtre a exactement deux enfants (M ≡
2) qui se déplacent en γ 1 = − log U et γ 2 = − log(1 − U).
1. Calculer pour un paramètre θ réel, la transformée de Laplace m(θ) et son logarithme (θ).
Ecrire la martingale additive que l’on appellera M BIS
n
(θ). Traduire le théorème de Biggins,
en particulier déterminer la zone de convergence L 1 de la martingale additive. En faisant le
changement de variable z = (1 + θ)/2, traduire cette zone sur un intervalle en z : ]z − , z + [. Les
bornes z − et z + sont solution d’une équation que l’on écrira. Ecrire la martingale additive de la
bisection en fonction du paramètre z.
2. Une marche aléatoire branchante cousine de la bisection.
Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur ]0, 1[. Soit la marche aléatoire branchante
définie par le processus ponctuel
Z = 2δ − log U .
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1. On suppose (par l’absurde) qu’il existe un espace probabilisé sur lequel sont définis tous les τ n
et tel que la suite (τ n ) est croissante au sens de l’inclusion. À l’aide du théorème 5.9, montrer
que p.s.
n≥1
τ n = τ
où τ est un arbre biaisé.
2. Pour tout k ≥ 1, appelons Z k (τ ) le nombre de nœuds de la k-ième génération d’un arbre τ .
Montrer que EZ k ( τ ) = 1 + kσ 2 et en déduire la propriété :
∀k ≥ 1, ∀n ≥ 1,
EZ k (τ n ) ≤ 1 + kσ
2 .
(5.16)
3. Soit ε > 0. Soit le processus de Galton-Watson de loi de reproduction donnée par
p 0 =
1 − ε
2
,
p 1 = ε,
p 2 =
1 − ε
2
.
Calculer la moyenne et la variance de cette loi. Pour n = 3, respectivement n = 4, dessiner les
2, respectivement 4 arbres τ n possibles, et calculer la loi de τ n . En déduire que
EZ 1 (τ 3 ) = 2 + O(ε
2 ),
EZ 1 (τ 4 ) =
5
3
+ O(ε
2 ).
Montrer que pour ε suffisamment petit, (5.16) n’est pas vérifiée pour n = 3 et EZ 1 (τ n ) >
EZ 1 (τ n+1 ) pour n = 3.
4. Conclure.
Problème 5.5. (Un exemple de marche aléatoire branchante : la bisection) Le modèle de la
bisection est appelé aussi “Kolmogorov’s rock”. Dans ce modèle, un objet est de masse 1 à l’instant
0. A l’instant 1, il se brise en deux objets de masse U et 1 − U où U est une variable aléatoire de
loi uniforme sur l’intervalle ]0, 1[. Les deux morceaux évoluent ensuite indépendamment l’un de
l’autre. A l’instant n, il y a 2 n morceaux, et chacun se brise à l’instant n + 1 en deux morceaux de
taille respectivement U fois sa taille et (1−U) fois sa taille. Ainsi la masse de chaque morceau est le
produit de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur ]0, 1[. En prenant les logarithmes
de ces variables, le modèle devient additif, c’est une marche aléatoire branchante.
Avec les notations de la section 5.3, soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur ]0, 1[. Soit
le processus ponctuel Z défini par
Z = δ − log U + δ − log(1−U) .
Il définit une marche aléatoire branchante dans laquelle l’ancêtre a exactement deux enfants (M ≡
2) qui se déplacent en γ 1 = − log U et γ 2 = − log(1 − U).
1. Calculer pour un paramètre θ réel, la transformée de Laplace m(θ) et son logarithme (θ).
Ecrire la martingale additive que l’on appellera M BIS
n
(θ). Traduire le théorème de Biggins,
en particulier déterminer la zone de convergence L 1 de la martingale additive. En faisant le
changement de variable z = (1 + θ)/2, traduire cette zone sur un intervalle en z : ]z − , z + [. Les
bornes z − et z + sont solution d’une équation que l’on écrira. Ecrire la martingale additive de la
bisection en fonction du paramètre z.
2. Une marche aléatoire branchante cousine de la bisection.
Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur ]0, 1[. Soit la marche aléatoire branchante
définie par le processus ponctuel
Z = 2δ − log U .