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5 Approche probabiliste
ce qui prouve la propriété de martingale. La convergence presque sûre vient de la
positivité et l’inégalité à la limite vient du fait que la martingale est d’espérance
égale à 1 (cf. annexe C.8 et le corollaire C.26).
L’analogue du théorème de Kesten-Stigum est dû à Biggins, pour
déterminer si la limite W (θ) est nulle ou pas, en d’autres termes pour dire
s’il y a convergence dans L 1 ou non, mais un phénomène nouveau apparaît
qui sépare l’espace en deux zones.
Théorème 5.25 Soit W (θ) la limite presque sûre de la martingale W n (θ ).
Quand n → +∞,
W n (θ )
L 1
−→ W (θ) et E(W (θ )) = 1 ⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
log m(θ ) − θ
m (θ)
m(θ) > 0
et
E(Z 1 (θ ) log Z 1 (θ )) < ∞,
où nous notons Z 1 (θ ) =
M
j =1 e −θγ j . Lorsqu’il n’y a pas convergence dans
L 1 , alors W n (θ ) −→
n→∞
0 presque sûrement.
Ainsi la condition sur m(θ ) définit deux zones de R limitées par deux
valeurs critiques θ c et θ
c . Dans la zone θ c < θ < θ
c il y a convergence
L 1 sous une condition de type «xlog x». Dans la zone θ < θ c ou θ > θ
c on a
W n (θ ) −→
n→∞
0.
Preuve Plusieurs démonstrations existent, qui sortent du cadre de ce livre :
celle de Biggins dans [25] et une autre utilisant l’extension au cas spatial de
l’arbre biaisé (cf. Lyons [170]).
5.4 Exercices et problèmes
5.1. Utiliser la relation (5.3) sur W , la limite de la martingale de Galton-Watson, dans le
cas particulier où n = 1, pour trouver une équation fonctionnelle satisfaite par la transformée de
Laplace de W .
5.2. Décrire et dessiner un arbre biaisé pour p 0 = p 2 = 1/2, en utilisant la proposition 5.11.
5.3. Expliciter la bijection entre les arbres binaires et les chemins de Dyck.
Problème 5.4. (Les arbres de Galton-Watson ne poussent pas) (ce problème est issu de
Janson [148].) Pour tout n ≥ 1, soit τ n un arbre de Galton-Watson de loi de reproduction
(p k ) k≥0 , conditionné par sa taille n. On suppose que le processus de Galton-Watson est critique
(m =
kp k = 1) et de variance finie σ 2 . La question est de savoir si τ n+1 peut être construit à
partir de τ n sur un même espace probabilisé, en ajoutant une feuille.
5 Approche probabiliste
ce qui prouve la propriété de martingale. La convergence presque sûre vient de la
positivité et l’inégalité à la limite vient du fait que la martingale est d’espérance
égale à 1 (cf. annexe C.8 et le corollaire C.26).
L’analogue du théorème de Kesten-Stigum est dû à Biggins, pour
déterminer si la limite W (θ) est nulle ou pas, en d’autres termes pour dire
s’il y a convergence dans L 1 ou non, mais un phénomène nouveau apparaît
qui sépare l’espace en deux zones.
Théorème 5.25 Soit W (θ) la limite presque sûre de la martingale W n (θ ).
Quand n → +∞,
W n (θ )
L 1
−→ W (θ) et E(W (θ )) = 1 ⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
log m(θ ) − θ
m (θ)
m(θ) > 0
et
E(Z 1 (θ ) log Z 1 (θ )) < ∞,
où nous notons Z 1 (θ ) =
M
j =1 e −θγ j . Lorsqu’il n’y a pas convergence dans
L 1 , alors W n (θ ) −→
n→∞
0 presque sûrement.
Ainsi la condition sur m(θ ) définit deux zones de R limitées par deux
valeurs critiques θ c et θ
c . Dans la zone θ c < θ < θ
c il y a convergence
L 1 sous une condition de type «xlog x». Dans la zone θ < θ c ou θ > θ
c on a
W n (θ ) −→
n→∞
0.
Preuve Plusieurs démonstrations existent, qui sortent du cadre de ce livre :
celle de Biggins dans [25] et une autre utilisant l’extension au cas spatial de
l’arbre biaisé (cf. Lyons [170]).
5.4 Exercices et problèmes
5.1. Utiliser la relation (5.3) sur W , la limite de la martingale de Galton-Watson, dans le
cas particulier où n = 1, pour trouver une équation fonctionnelle satisfaite par la transformée de
Laplace de W .
5.2. Décrire et dessiner un arbre biaisé pour p 0 = p 2 = 1/2, en utilisant la proposition 5.11.
5.3. Expliciter la bijection entre les arbres binaires et les chemins de Dyck.
Problème 5.4. (Les arbres de Galton-Watson ne poussent pas) (ce problème est issu de
Janson [148].) Pour tout n ≥ 1, soit τ n un arbre de Galton-Watson de loi de reproduction
(p k ) k≥0 , conditionné par sa taille n. On suppose que le processus de Galton-Watson est critique
(m =
kp k = 1) et de variance finie σ 2 . La question est de savoir si τ n+1 peut être construit à
partir de τ n sur un même espace probabilisé, en ajoutant une feuille.