5.4 Exercices et problèmes
215
(c) Ecrire
W n (θ) =
|u|=n
e −θXu
m(θ) n
en fonction de m et des λ(n, k).
(d) Définissons pour tout entier k,
μ(n, k) =
m
2
−n
k
j =0
−n
j
λ(n, k − j).
Montrer que pour tout θ ≥ 0,
k≥0
μ(n, k)e
−θk = W n (θ).
En déduire que pour tout entier k fixé, la suite (μ(n, k)) n est une F n -martingale. Appelons
μ k sa limite presque sûre quand n tend vers +∞. Que peut-on dire de μ k ?
(e) Appliquer (d) à k = L pour obtenir
λ(n, L) ∼ Cste
m
2
n
,
quand n → +∞.
Que signifie ce résultat ?
215
(c) Ecrire
W n (θ) =
|u|=n
e −θXu
m(θ) n
en fonction de m et des λ(n, k).
(d) Définissons pour tout entier k,
μ(n, k) =
m
2
−n
k
j =0
−n
j
λ(n, k − j).
Montrer que pour tout θ ≥ 0,
k≥0
μ(n, k)e
−θk = W n (θ).
En déduire que pour tout entier k fixé, la suite (μ(n, k)) n est une F n -martingale. Appelons
μ k sa limite presque sûre quand n tend vers +∞. Que peut-on dire de μ k ?
(e) Appliquer (d) à k = L pour obtenir
λ(n, L) ∼ Cste
m
2
n
,
quand n → +∞.
Que signifie ce résultat ?