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5 Approche probabiliste
qui est la somme des mesures de Dirac (δ désigne la mesure de Dirac) en chaque
déplacement des enfants de l’ancêtre. C’est une mesure de comptage, aléatoire,
appelée aussi processus ponctuel. Remarquons que dans le modèle général, il n’y a
pas d’hypothèse d’indépendance entre M et les γ i . Le problème 5.9 propose un cas
simple où il y a indépendance. Le problème 5.5 propose un cas où M est constant
égal à 2.
Pour décrire l’état de la marche branchante à l’instant n, appelons
Z n =
|u|=n
δ X u
le processus des positions des particules de la n-ième génération. Alors Z 0 = δ X ε et
Z 1 =
M
j =1
δ X ε +γ j . Nous allons étudier la loi de Z n via sa transformée de Laplace :
u,|u|=n
e
−θX u .
Définition 5.22 La loi du processus ponctuel Z défini par l’équation (5.12) est
caractérisée par sa transformée de Laplace, définie par : ∀θ ∈ R,
m(θ ) = E
Z(e
−θ )
= E
⎛
⎝
M
j =1
e
−θγ j
⎞
⎠ ∈ [0, +∞].
(5.13)
La proposition suivante résume le modèle et exprime une propriété de branchement enrichie de la composante spatiale. Pour exprimer la propriété de branchement,
nous avons besoin de la tribu F n , le passé avant n : c’est ici la tribu engendrée par
les variables M u , |u| ≤ n − 1, X ε et γ u , |u| ≤ n. Elle contient les déplacements de u
et ses ancêtres jusqu’à n, mais pas le nombre d’enfants d’un nœud u de longueur n.
Proposition-Définition 5.23 Soit Z un processus ponctuel de transformée de
Laplace finie sur un voisinage de 0. Ecrivons
Z = δ γ 1 + · · · + δ γ M .
Soit x ∈ R. Alors il existe une unique probabilité P x sur l’ensemble des arbres
marqués par R, telle que P x -presque sûrement,
(i) X ε = x ;
(ii) Z 1 = δ x+γ 1 + · · · + δ x+γ M (translatée de x de la mesure Z) ;
(iii) (propriété de branchement)
pour tout n ≥ 1, conditionnellement à F n , le passé avant n, les sous-arbres
{τ u , |u| = n} sont indépendants et de même loi P X u . Autrement dit, pour toutes
5 Approche probabiliste
qui est la somme des mesures de Dirac (δ désigne la mesure de Dirac) en chaque
déplacement des enfants de l’ancêtre. C’est une mesure de comptage, aléatoire,
appelée aussi processus ponctuel. Remarquons que dans le modèle général, il n’y a
pas d’hypothèse d’indépendance entre M et les γ i . Le problème 5.9 propose un cas
simple où il y a indépendance. Le problème 5.5 propose un cas où M est constant
égal à 2.
Pour décrire l’état de la marche branchante à l’instant n, appelons
Z n =
|u|=n
δ X u
le processus des positions des particules de la n-ième génération. Alors Z 0 = δ X ε et
Z 1 =
M
j =1
δ X ε +γ j . Nous allons étudier la loi de Z n via sa transformée de Laplace :
u,|u|=n
e
−θX u .
Définition 5.22 La loi du processus ponctuel Z défini par l’équation (5.12) est
caractérisée par sa transformée de Laplace, définie par : ∀θ ∈ R,
m(θ ) = E
Z(e
−θ )
= E
⎛
⎝
M
j =1
e
−θγ j
⎞
⎠ ∈ [0, +∞].
(5.13)
La proposition suivante résume le modèle et exprime une propriété de branchement enrichie de la composante spatiale. Pour exprimer la propriété de branchement,
nous avons besoin de la tribu F n , le passé avant n : c’est ici la tribu engendrée par
les variables M u , |u| ≤ n − 1, X ε et γ u , |u| ≤ n. Elle contient les déplacements de u
et ses ancêtres jusqu’à n, mais pas le nombre d’enfants d’un nœud u de longueur n.
Proposition-Définition 5.23 Soit Z un processus ponctuel de transformée de
Laplace finie sur un voisinage de 0. Ecrivons
Z = δ γ 1 + · · · + δ γ M .
Soit x ∈ R. Alors il existe une unique probabilité P x sur l’ensemble des arbres
marqués par R, telle que P x -presque sûrement,
(i) X ε = x ;
(ii) Z 1 = δ x+γ 1 + · · · + δ x+γ M (translatée de x de la mesure Z) ;
(iii) (propriété de branchement)
pour tout n ≥ 1, conditionnellement à F n , le passé avant n, les sous-arbres
{τ u , |u| = n} sont indépendants et de même loi P X u . Autrement dit, pour toutes