5.3 Marche aléatoire branchante
205
Fig. 5.5 Une occurrence de marche aléatoire branchante sur R
Le phénomène se décrit de la façon suivante : un ancêtre se trouve à la position 11
x ∈ R à l’instant 0. A l’instant n = 1, il donne naissance à un nombre aléatoire
M d’enfants situés aux positions aléatoires γ 1 , γ 2 , . . . , γ M . Puis chaque individu u
donne naissance, indépendamment des autres particules et du passé, à des enfants
selon la même règle : il a M u enfants où M u est de même loi que M, et les
positions γ u1 , γ u2 , . . . , γ uM u des enfants de u relativement à u sont de même loi
que γ 1 , γ 2 , . . . , γ M . Le modèle de marche aléatoire branchante est discret mais
un modèle continu se décrit tout aussi bien avec des durées de vie aléatoires ;
les analogies avec de tels modèles à temps continu, introduits notamment par
Uchiyama [243]), sont clairement expliquées par Biggins [26]. Nous y reviendrons
plus loin.
Ici, les arbres qui apparaissent sont des arbres marqués par les déplacements γ u
(à valeurs dans R) des particules. Remarquons qu’en enlevant les marques spatiales,
il reste un arbre de Galton-Watson de loi de reproduction donnée par M.
Définissons la position X u de la particule u = i 1 i 2 . . . i n par
X u = X ε + γ i 1 + γ i 1 i 2 + · · · + γ i 1 ...i n .
Cette expression met en évidence le fait qu’une marche aléatoire est effectuée sur
chaque branche allant de l’ancêtre au nœud u. Ce modèle est additif le long de
chaque branche de l’arbre. En passant à l’exponentielle (c’est-à-dire en considérant
comme variables les e X u ) on obtiendrait un modèle multiplicatif le long des
branches, comme dans les cascades ou les fractales notamment.
Toute l’information du modèle est contenue dans la position de l’ancêtre X ε et la
mesure aléatoire
Z = δ γ 1 + · · · + δ γ M
(5.12)
11 Nous supposons ici que les déplacements sont à valeurs dans R, mais le modèle avec
déplacements dans R d , d ≥ 2 est une généralisation naturelle.
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Fig. 5.5 Une occurrence de marche aléatoire branchante sur R
Le phénomène se décrit de la façon suivante : un ancêtre se trouve à la position 11
x ∈ R à l’instant 0. A l’instant n = 1, il donne naissance à un nombre aléatoire
M d’enfants situés aux positions aléatoires γ 1 , γ 2 , . . . , γ M . Puis chaque individu u
donne naissance, indépendamment des autres particules et du passé, à des enfants
selon la même règle : il a M u enfants où M u est de même loi que M, et les
positions γ u1 , γ u2 , . . . , γ uM u des enfants de u relativement à u sont de même loi
que γ 1 , γ 2 , . . . , γ M . Le modèle de marche aléatoire branchante est discret mais
un modèle continu se décrit tout aussi bien avec des durées de vie aléatoires ;
les analogies avec de tels modèles à temps continu, introduits notamment par
Uchiyama [243]), sont clairement expliquées par Biggins [26]. Nous y reviendrons
plus loin.
Ici, les arbres qui apparaissent sont des arbres marqués par les déplacements γ u
(à valeurs dans R) des particules. Remarquons qu’en enlevant les marques spatiales,
il reste un arbre de Galton-Watson de loi de reproduction donnée par M.
Définissons la position X u de la particule u = i 1 i 2 . . . i n par
X u = X ε + γ i 1 + γ i 1 i 2 + · · · + γ i 1 ...i n .
Cette expression met en évidence le fait qu’une marche aléatoire est effectuée sur
chaque branche allant de l’ancêtre au nœud u. Ce modèle est additif le long de
chaque branche de l’arbre. En passant à l’exponentielle (c’est-à-dire en considérant
comme variables les e X u ) on obtiendrait un modèle multiplicatif le long des
branches, comme dans les cascades ou les fractales notamment.
Toute l’information du modèle est contenue dans la position de l’ancêtre X ε et la
mesure aléatoire
Z = δ γ 1 + · · · + δ γ M
(5.12)
11 Nous supposons ici que les déplacements sont à valeurs dans R, mais le modèle avec
déplacements dans R d , d ≥ 2 est une généralisation naturelle.