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5 Approche probabiliste
(c) Loi du maximum d’une excursion brownienne
La loi du maximum d’une excursion brownienne sur [0, 1] est égale
à
π
2
Y où Y suit une loi Theta. En effet, le maximum d’une excursion
brownienne a même loi que
max
0≤u≤1
b u − min
0≤u≤1
b u ,
où (b u ) est un pont brownien, c’est-à-dire un mouvement brownien standard
conditionné à valoir 0 en 1. Il suffit alors de connaître la loi du couple
max
0≤u≤1
b u , min
0≤u≤1
b u
. Or,
P
min
0≤u≤1
b u ≥ −a, max
0≤u≤1
b u ≤ b
=
∞
k=−∞
e
−2k 2 (a+b) 2 −
∞
k=−∞
e
−2[b+k(a+b)] 2
,
ce qui conduit au résultat. Finalement, le théorème 5.20 se dit aussi de la façon
suivante.
Théorème 5.21 La hauteur normalisée d’un arbre planaire de taille n sous
le modèle de Catalan,
h(τ n )
√
2n
, converge en distribution vers la loi du maximum
d’une excursion brownienne sur [0, 1], lorsque n tend vers l’infini.
On trouvera dans le livre de Revuz et Yor [221] et dans le survey de Biane
et al. [23] tout le nécessaire sur le mouvement brownien et ses liens avec la
loi Theta.
5.3 Marche aléatoire branchante
Ce processus de Markov modélise une population d’individus qui se reproduisent
(c’est un processus de branchement) et qui ont une position spatiale. En outre, la
suite des positions des individus le long d’une branche est une marche aléatoire.
Ce modèle correspond par exemple à l’essaimage des graines d’une plante ancêtre,
d’année en année (figure 5.5).