194
5 Approche probabiliste
où les M i sont indépendants, chacun suit la loi de reproduction (p k ), et Y n suit la
loi d’immigration Y. Autrement dit, pour tout n ≥ 1, Z n est la somme du nombre
d’enfants des individus de la génération précédente et d’immigrants de loi Y.
Soit maintenant (Z n ) n≥0 un processus de Galton-Watson biaisé, c’est-à-dire sous
la loi P. La proposition 5.11 et la figure 5.2 font apparaître, en regardant la n-ième
génération et en enlevant l’individu du tronc, que les Z n −1 individus sont la réunion
des enfants des individus de la génération précédente (sous la loi P) et des enfants de
l’individu du tronc de la génération précédente (sous la loi P) moins un. Autrement
dit, pour tout n ≥ 1, Z n − 1 est un processus de Galton-Watson avec immigration
Y n =
M n − 1 où les
M n sont i.i.d. de loi kp k /m.
Le théorème suivant, dû à Seneta, sur les processus avec immigration est
démontré dans Peres [205].
Théorème 5.13 Soient Z n les tailles des générations dans un processus de GaltonWatson avec immigration Y . Supposons que m > 1, où m est la moyenne de la loi
de reproduction. Si 7 E(log
+ Y ) < ∞, alors la limite de Z n /m n existe et est finie
p.s. Si E(log
+ Y ) = ∞, alors lim sup Z n /c n = ∞ pour toute constante c > 0.
5.1.3 Processus surcritique : Théorème de Kesten-Stigum
Le théorème suivant répond de façon définitive à la question de la nullité ou non
de la limite W de la martingale de Galton-Watson, qui est cruciale pour préciser
le comportement asymptotique de Z n . Dans ce théorème apparaît en effet une
condition nécessaire et suffisante pour que W ne soit pas dégénérée. Cette condition,
dite « condition x log x », porte sur la loi de reproduction du processus. Dans le cas
où elle est satisfaite, il y a convergence L 1 de la martingale de Galton-Watson et
l’espérance est conservée à la limite.
Théorème 5.14 (Théorème de Kesten-Stigum (1966)) Soit (Z n ) n≥0 un processus de Galton-Watson surcritique où Z 0 = 1 et 1 < m < ∞ et qui s’éteint avec
probabilité q. Soit W la limite de la martingale
Z n
m n . Alors les assertions suivantes
sont équivalentes :
(i) P(W = 0) = q ;
(ii) E(W ) = 1 ;
(iii) W n =
Z n
m n
L 1
−→ W ;
(iv) (W n ) est uniformément intégrable 8 ;
7 log
+ x est la partie positive du log, autrement dit : log
+ x = max(0, log x).
8 Une suite (X n ) de variables aléatoires est uniformément intégrable lorsque sup n (X n 1 Xn≥a ) tend
vers 0 quand a tend vers l’infini. Cette notion est équivalente à la convergence de la suite dans L 1 .
5 Approche probabiliste
où les M i sont indépendants, chacun suit la loi de reproduction (p k ), et Y n suit la
loi d’immigration Y. Autrement dit, pour tout n ≥ 1, Z n est la somme du nombre
d’enfants des individus de la génération précédente et d’immigrants de loi Y.
Soit maintenant (Z n ) n≥0 un processus de Galton-Watson biaisé, c’est-à-dire sous
la loi P. La proposition 5.11 et la figure 5.2 font apparaître, en regardant la n-ième
génération et en enlevant l’individu du tronc, que les Z n −1 individus sont la réunion
des enfants des individus de la génération précédente (sous la loi P) et des enfants de
l’individu du tronc de la génération précédente (sous la loi P) moins un. Autrement
dit, pour tout n ≥ 1, Z n − 1 est un processus de Galton-Watson avec immigration
Y n =
M n − 1 où les
M n sont i.i.d. de loi kp k /m.
Le théorème suivant, dû à Seneta, sur les processus avec immigration est
démontré dans Peres [205].
Théorème 5.13 Soient Z n les tailles des générations dans un processus de GaltonWatson avec immigration Y . Supposons que m > 1, où m est la moyenne de la loi
de reproduction. Si 7 E(log
+ Y ) < ∞, alors la limite de Z n /m n existe et est finie
p.s. Si E(log
+ Y ) = ∞, alors lim sup Z n /c n = ∞ pour toute constante c > 0.
5.1.3 Processus surcritique : Théorème de Kesten-Stigum
Le théorème suivant répond de façon définitive à la question de la nullité ou non
de la limite W de la martingale de Galton-Watson, qui est cruciale pour préciser
le comportement asymptotique de Z n . Dans ce théorème apparaît en effet une
condition nécessaire et suffisante pour que W ne soit pas dégénérée. Cette condition,
dite « condition x log x », porte sur la loi de reproduction du processus. Dans le cas
où elle est satisfaite, il y a convergence L 1 de la martingale de Galton-Watson et
l’espérance est conservée à la limite.
Théorème 5.14 (Théorème de Kesten-Stigum (1966)) Soit (Z n ) n≥0 un processus de Galton-Watson surcritique où Z 0 = 1 et 1 < m < ∞ et qui s’éteint avec
probabilité q. Soit W la limite de la martingale
Z n
m n . Alors les assertions suivantes
sont équivalentes :
(i) P(W = 0) = q ;
(ii) E(W ) = 1 ;
(iii) W n =
Z n
m n
L 1
−→ W ;
(iv) (W n ) est uniformément intégrable 8 ;
7 log
+ x est la partie positive du log, autrement dit : log
+ x = max(0, log x).
8 Une suite (X n ) de variables aléatoires est uniformément intégrable lorsque sup n (X n 1 Xn≥a ) tend
vers 0 quand a tend vers l’infini. Cette notion est équivalente à la convergence de la suite dans L 1 .