5.1 Arbres de Galton-Watson
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(v) E(sup
n
W n ) < +∞ ;
(vi) (condition x log x) E(M log
+ M) < +∞, c’est-à dire
∞
k=2
(k log k)p k < ∞.
Preuve Les équivalences entre (ii), (iii) et (iv) sont des résultats généraux, ainsi que
(v) ⇒ (iv).
(ii) ⇒ (i) se déduit du lemme 5.3 sur les propriétés héritées : puisque {W = 0}
est une propriété héritée, P(W = 0) = q ou 1.
Montrons (i) ⇒ (v). Cela repose sur le lemme suivant dont la démonstration se
trouve dans Athreya et Ney [10, p. 27].
Lemme 5.15 Supposons que P(W = 0) = q. Posons L = sup n W n . Alors il existe
A et B > 0 tels que ∀x ≥ 1, ∀n ∈ N
P(W ≥ Ax) ≥ B P(L ≥ x).
Ce lemme entraîne
E(L) =
∞
0
P(L ≥ x)dx ≤ 1 +
1
B
∞
1
P(W ≥ Ax)dx
≤ 1 +
1
B
E
W
A
= 1 +
E(W )
AB
< ∞
et donc (v) est vérifié.
Il reste à montrer (vi) ⇒ (ii) et (i) ⇒ (vi).
La fin de la démonstration du théorème de Kesten-Stigum est la plus intéressante
et se déduit de l’étude de l’arbre biaisé. En effet, nous avons :
(vi) E(M log
+ M) < +∞ ⇔ E(log
M) < ∞
(5.6)
où
M est la v.a. à valeurs dans N de loi P(
M = k) =
kp k
m
définie dans l’arbre biaisé.
Supposons (vi). Alors E(log
M) < ∞. Or Z n = 1+(Z n −1) et sous P, d’après la
remarque 5.12, Z n − 1 est un processus de Galton-Watson avec immigration
M − 1.
Par le théorème 5.13 d’immigration de Seneta, nous déduisons W < ∞ P − p.s., et
grâce au lemme 5.8 de dichotomie, nous obtenons E(W ) = 1, c’est-à-dire (ii).
Inversement si (vi) n’est pas vérifié, alors par le même théorème 5.13, W =
∞ P − p.s., et donc P(W = 0) = 1 = q puisque m > 1 donc (i) n’est pas vérifié.
Ce qui termine la démonstration du théorème de Kesten-Stigum.