5.1 Arbres de Galton-Watson
193
et
P(M = 0) = 0.
Preuve La preuve repose sur la définition de P. Supposons k ≥ 1. Il suffit de faire
la preuve en supposant qu’il existe un entier n tel que tous les A j , j = 1, . . . , k
sont dans F n−1 , de sorte que P(A j ) = E
1 A j
Z n−1
m n−1
. Tous les A j ainsi que M sont
dans F n , et donc
P(M = k, τ
j
∈ A j , j = 1, . . . , k) = E
⎛
⎝ 1 M=k
k
j =1
1 τ j ∈A j
Z n
m n
⎞
⎠
=
1
m
E
⎛
⎝ 1 M=k
k
j =1
1 τ j ∈A j
k
i=1
Z n−1 ◦ τ i
m n−1
⎞
⎠
=
1
m
E
⎛
⎝ 1 M=k
k
i=1
Z n−1 ◦ τ i
m n−1 1 τ i ∈A i
j =i
1 τ j ∈A j
⎞
⎠ .
En conditionnant par F 1 (c’est-à-dire sachant M) et en appliquant la propriété de
branchement de la proposition 2.1, les τ i , i = 1, . . . , k sont indépendants et il vient
P(M = k, τ
j
∈ A j , j = 1, . . . , k) =
p k
m
k
i=1
P(A i )
j =i
P(A j ).
Pour k = 0,
P(M = 0) = E
1 M=0
Z 1
m
= 0.
Dans la démonstration du théorème de Kesten-Stigum ci-dessous intervient la
notion de processus de Galton-Watson avec immigration. Voyons comment un arbre
de Galton-Watson biaisé peut être décrit en ces termes.
Définition 5.12 Soit (p k ) k≥0 une loi de probabilité sur N, dite loi de reproduction,
et soit (Y n ) n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans N de même
loi Y, appelée loi d’immigration. Les lois de reproduction et d’immigration sont
supposées indépendantes.
Un processus (Z n ) n≥0 est dit processus de Galton-Watson avec immigration
lorsque Z 0 = 1 et pour tout n ≥ 1,
Z n = Y n +
Z n−1
i=1
M i
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et
P(M = 0) = 0.
Preuve La preuve repose sur la définition de P. Supposons k ≥ 1. Il suffit de faire
la preuve en supposant qu’il existe un entier n tel que tous les A j , j = 1, . . . , k
sont dans F n−1 , de sorte que P(A j ) = E
1 A j
Z n−1
m n−1
. Tous les A j ainsi que M sont
dans F n , et donc
P(M = k, τ
j
∈ A j , j = 1, . . . , k) = E
⎛
⎝ 1 M=k
k
j =1
1 τ j ∈A j
Z n
m n
⎞
⎠
=
1
m
E
⎛
⎝ 1 M=k
k
j =1
1 τ j ∈A j
k
i=1
Z n−1 ◦ τ i
m n−1
⎞
⎠
=
1
m
E
⎛
⎝ 1 M=k
k
i=1
Z n−1 ◦ τ i
m n−1 1 τ i ∈A i
j =i
1 τ j ∈A j
⎞
⎠ .
En conditionnant par F 1 (c’est-à-dire sachant M) et en appliquant la propriété de
branchement de la proposition 2.1, les τ i , i = 1, . . . , k sont indépendants et il vient
P(M = k, τ
j
∈ A j , j = 1, . . . , k) =
p k
m
k
i=1
P(A i )
j =i
P(A j ).
Pour k = 0,
P(M = 0) = E
1 M=0
Z 1
m
= 0.
Dans la démonstration du théorème de Kesten-Stigum ci-dessous intervient la
notion de processus de Galton-Watson avec immigration. Voyons comment un arbre
de Galton-Watson biaisé peut être décrit en ces termes.
Définition 5.12 Soit (p k ) k≥0 une loi de probabilité sur N, dite loi de reproduction,
et soit (Y n ) n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans N de même
loi Y, appelée loi d’immigration. Les lois de reproduction et d’immigration sont
supposées indépendantes.
Un processus (Z n ) n≥0 est dit processus de Galton-Watson avec immigration
lorsque Z 0 = 1 et pour tout n ≥ 1,
Z n = Y n +
Z n−1
i=1
M i