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5 Approche probabiliste
car sinon, cela signifierait que f (n+p) (0) = 1 et donc pour tout k ≤ n+p, f (k) (0) =
1, soit p 0 = 1 qui est un cas trivial que nous avons exclu. La même argumentation
fournit
E
1 A (1 − 1 Z n+p =0 )
= E
1 A (1 − α
Z p
n )
.
Observons en outre que α n = P(Z n = 0) tend vers q = 1 lorsque n tend vers
l’infini, puisque nous sommes dans le cas critique ou sous-critique, de sorte que
1 − α
Z p
n
1 − α n
tend vers Z p lorsque n tend vers l’infini. Finalement, lorsque n tend
vers l’infini, avec un argument de convergence monotone, P(A|Z n+p = 0) tend
donc vers
E(1 A Z p )
E(Z p )
. Comme E(Z p ) = m p , c’est que P(A|Z n+p = 0) tend vers
E(1 A
Z p
m p ), soit encore P(A).
La description de l’arbre biaisé peut être donnée en partant de la racine, de la
façon suivante. La loi de reproduction
M de l’ancêtre est biaisée : P(
M = k) =
kp k /m ; puis un descendant, disons J , est choisi au hasard uniformément parmi
la première génération et l’arbre T J est biaisé alors que les τ j pour j = J sont
des arbres de Galton-Watson ordinaires. La figure 5.2 avec une branche infinie
(une épine dorsale) et des « cheveux » Galton-Watson qui en partent, illustre la
proposition suivante.
Proposition 5.11 (Description de l’arbre sous P)
Pour toute famille d’événements (A j ) j ∈N , si τ j désigne le j -ième sous arbre de
la racine, alors pour k ≥ 1,
P(M = k, τ
j
∈ A j , j = 1, . . . , k) =
kp k
m
1
k
k
j =1
P(A 1 ) . . . P(A j ) . . . P(A k )
(5.5)
Fig. 5.2 Une représentation
d’arbre de Galton-Watson
biaisé, avec l’épine dorsale
dessinée en gras, et les
sous-arbres de loi P le long de
l’épine dorsale