5.1 Arbres de Galton-Watson
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2. le cas où les trois assertions suivantes, qui sont équivalentes, sont satisfaites :
(i) W = 0 P − p.s.
(ii) P ⊥ P
(iii) W = ∞ P − p.s.
Un deuxième point de vue sur l’arbre biaisé apparaît dans Kesten [153], puis est
prouvé par Grimmett [124, Th 3] dans le cas d’une loi de reproduction de Poisson.
Le théorème suivant établit qu’un arbre de Galton-Watson biaisé est la limite quand
n tend vers l’infini d’un arbre de Galton-Watson conditionné à être de taille n. C’est
un point de vue intéressant car (voir la section 5.2) certains arbres sous le modèle
de Catalan sont des arbres de Galton-Watson conditionnés par leur taille.
Théorème 5.9 Pour n ≥ 1, soit τ n un arbre de Galton-Watson critique, de loi de
reproduction de variance finie, conditionné à être de taille n. Lorsque n tend vers
l’infini, τ n converge vers un arbre de Galton-Watson biaisé, au sens suivant : si τ
est un arbre de Galton-Watson critique, alors ∀k ≥ 1, ∀A ∈ F k ,
P(A) = lim
n→∞
P(A
|τ | = n).
Nous ne prouvons pas exactement ceci mais la propriété suivante, qui est cousine.
Dans les cas sous-critique ou critique (m ≤ 1), la loi de l’arbre biaisé est obtenue
en conditionnant un arbre de Galton-Watson à survivre indéfiniment.
Proposition 5.10 Supposons m ≤ 1 (cas sous-critique ou critique). Supposons
aussi que p 0 = 1 et que p 1 = 1. Alors, pour tout événement A,
P(A) = lim
n→∞
P(A|Z n = 0).
(5.4)
Preuve Pour prouver cette proposition pour tout A ∈ F , il suffit de prendre un
événement A dans F p , pour un p ≥ 1 quelconque. Ecrivons pour n ≥ 1,
P(A|Z n+p = 0)
=
E(1 A 1 Z n+p =0 )
P(Z n+p = 0)
=
E
1 A (1 − 1 Z n+p =0 )
1 − P(Z n+p = 0)
.
Remarquons que l’événement {Z n+p = 0} signifie exactement que pour tout nœud u
de la génération p, Z n (τ u ) = 0, de sorte que par la propriété de branchement (2.4),
et en notant α n = P(Z n = 0),
P(Z n+p = 0) = E
⎛
⎝
u,|u|=p
P(Z n = 0)
⎞
⎠ = E(α
Z p
n ) = 1,
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2. le cas où les trois assertions suivantes, qui sont équivalentes, sont satisfaites :
(i) W = 0 P − p.s.
(ii) P ⊥ P
(iii) W = ∞ P − p.s.
Un deuxième point de vue sur l’arbre biaisé apparaît dans Kesten [153], puis est
prouvé par Grimmett [124, Th 3] dans le cas d’une loi de reproduction de Poisson.
Le théorème suivant établit qu’un arbre de Galton-Watson biaisé est la limite quand
n tend vers l’infini d’un arbre de Galton-Watson conditionné à être de taille n. C’est
un point de vue intéressant car (voir la section 5.2) certains arbres sous le modèle
de Catalan sont des arbres de Galton-Watson conditionnés par leur taille.
Théorème 5.9 Pour n ≥ 1, soit τ n un arbre de Galton-Watson critique, de loi de
reproduction de variance finie, conditionné à être de taille n. Lorsque n tend vers
l’infini, τ n converge vers un arbre de Galton-Watson biaisé, au sens suivant : si τ
est un arbre de Galton-Watson critique, alors ∀k ≥ 1, ∀A ∈ F k ,
P(A) = lim
n→∞
P(A
|τ | = n).
Nous ne prouvons pas exactement ceci mais la propriété suivante, qui est cousine.
Dans les cas sous-critique ou critique (m ≤ 1), la loi de l’arbre biaisé est obtenue
en conditionnant un arbre de Galton-Watson à survivre indéfiniment.
Proposition 5.10 Supposons m ≤ 1 (cas sous-critique ou critique). Supposons
aussi que p 0 = 1 et que p 1 = 1. Alors, pour tout événement A,
P(A) = lim
n→∞
P(A|Z n = 0).
(5.4)
Preuve Pour prouver cette proposition pour tout A ∈ F , il suffit de prendre un
événement A dans F p , pour un p ≥ 1 quelconque. Ecrivons pour n ≥ 1,
P(A|Z n+p = 0)
=
E(1 A 1 Z n+p =0 )
P(Z n+p = 0)
=
E
1 A (1 − 1 Z n+p =0 )
1 − P(Z n+p = 0)
.
Remarquons que l’événement {Z n+p = 0} signifie exactement que pour tout nœud u
de la génération p, Z n (τ u ) = 0, de sorte que par la propriété de branchement (2.4),
et en notant α n = P(Z n = 0),
P(Z n+p = 0) = E
⎛
⎝
u,|u|=p
P(Z n = 0)
⎞
⎠ = E(α
Z p
n ) = 1,