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5 Approche probabiliste
ce qui signifie que pour tout événement A de F n , le calcul de P(A) est donné par :
∀A ∈ F n ,
P(A) = P n (A) =
A
Z n
m n dP = E
1 A
Z n
m n
.
Le fait que Z n /m n soit une martingale assure la compatibilité. L’arbre sous P est
appelé arbre biaisé.
Description et propriétés de l’arbre biaisé
La première propriété remarquable de l’arbre biaisé est qu’il est infini. En effet, le
temps T d’extinction sous P vérifie :
P(T > n) = P(Z n = 0) =
1 Z n =0
Z n
m n dP
=
1 Z n =0
Z n
m n dP +
1 Z n =0
Z n
m n dP =
Z n
m n dP = E
Z n
m n
= 1
de sorte que pour tout n, {T > n} est de P-probabilité égale à 1 et donc P est portée
par {T = ∞}, c’est-à-dire que P(T = ∞) = 1. Autrement dit, sous P, l’arbre ne
s’éteint pas, il est infini.
Par conséquent, dans les cas sous-critique et critique où m ≤ 1, les deux
probabilités P et P sont étrangères. 5 Dans le cas surcritique où m > 1, le
lemme suivant, issu d’un petit raisonnement d’intégration, non détaillé ici (voir
Peres [205]), fait le point sur les deux situations possibles, suivant si la convergence
de la martingale vers W a lieu dans L 1 ou non.
Lemme 5.8 Dans le cas surcritique où m > 1, la dichotomie suivante a lieu
entre :
1. le cas où les trois assertions suivantes, qui sont équivalentes, sont satisfaites :
(i) E(W ) = 1
(ii) P P (la notation P P signifie P absolument continue 6 par rapport à
P)
(iii) W < ∞ P − p.s.
5 ce qui signifie qu’il existe un événement, ici {T < ∞}, qui est de probabilité 1 pour P et de
probabilité 0 pour P. La notation est P ⊥ P.
6 Une mesure μ est dite absolument continue par rapport à une mesure ν lorsque pour tout
événement A, μ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0. La notation est μ ν.