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5 Approche probabiliste
passant à la limite quand k tend vers l’infini dans l’égalité ci-dessus, nous avons
pour tout entier n, p.s.
W =
1
m n
u,|u|=n
W (τ
u ),
(5.3)
où les W (τ u ) sont indépendants et de même loi que W . Cette relation est
importante pour mieux comprendre la limite W ; par exemple, dans l’exercice 5.1,
la relation (5.3) écrite pour n = 1 conduit à une équation fonctionnelle satisfaite par
la transformée de Laplace de W .
L’étape suivante pour savoir quand Z n est (m n ), consiste à déterminer si W est
nul ou bien strictement positif. En effet, si W > 0, nous aurons bien Z n = (m n ),
mais si W = 0, nous aurons Z n = o(m n ).
Le lemme suivant établit une loi 0–1 pour un processus de Galton-Watson. Il
permet ensuite, dans la proposition 5.7, de relier l’extinction de l’arbre à la variable
aléatoire limite W .
Définition 5.5 Une propriété est dite héritée quand
(i) tout arbre fini possède cette propriété ;
(ii) lorsqu’un arbre τ possède cette propriété, les arbres τ 1 , τ 2 , . . . , τ M issus des
M enfants de la racine, la possèdent aussi.
Lemme 5.6 Toute propriété héritée est de probabilité q ou 1.
En particulier, lorsqu’un arbre ne s’éteint pas, alors q = 0 et toute propriété
héritée est de probabilité 0 ou 1.
Preuve Soit E l’ensemble des arbres possédant une certaine propriété héritée. Par
(ii) de la définition 5.5, nous avons
1 E (τ ) ≤
M
i=1
1 E (τ
i ).
Prenons l’espérance et appliquons la propriété de branchement (2.4). Nous obtenons
P(E) ≤ f (P(E)).
où f désigne la fonction génératrice de la loi de reproduction, définie en (5.1). Par
(i) de la définition 5.5, on sait que P(E) ≥ q. Grâce aux propriétés de la fonction
f établies dans la proposition 5.2 et visibles sur la figure 5.1, nous déduisons que
P(E) ∈ {q, 1}.
Appliquons ce qui précède à {W = 0} qui est bien une propriété héritée, grâce à
l’équation (5.3). Nous obtenons :
Proposition 5.7 Soit W la limite de la martingale de Galton-Watson. Alors P(W =
0) = q ou 1.
5 Approche probabiliste
passant à la limite quand k tend vers l’infini dans l’égalité ci-dessus, nous avons
pour tout entier n, p.s.
W =
1
m n
u,|u|=n
W (τ
u ),
(5.3)
où les W (τ u ) sont indépendants et de même loi que W . Cette relation est
importante pour mieux comprendre la limite W ; par exemple, dans l’exercice 5.1,
la relation (5.3) écrite pour n = 1 conduit à une équation fonctionnelle satisfaite par
la transformée de Laplace de W .
L’étape suivante pour savoir quand Z n est (m n ), consiste à déterminer si W est
nul ou bien strictement positif. En effet, si W > 0, nous aurons bien Z n = (m n ),
mais si W = 0, nous aurons Z n = o(m n ).
Le lemme suivant établit une loi 0–1 pour un processus de Galton-Watson. Il
permet ensuite, dans la proposition 5.7, de relier l’extinction de l’arbre à la variable
aléatoire limite W .
Définition 5.5 Une propriété est dite héritée quand
(i) tout arbre fini possède cette propriété ;
(ii) lorsqu’un arbre τ possède cette propriété, les arbres τ 1 , τ 2 , . . . , τ M issus des
M enfants de la racine, la possèdent aussi.
Lemme 5.6 Toute propriété héritée est de probabilité q ou 1.
En particulier, lorsqu’un arbre ne s’éteint pas, alors q = 0 et toute propriété
héritée est de probabilité 0 ou 1.
Preuve Soit E l’ensemble des arbres possédant une certaine propriété héritée. Par
(ii) de la définition 5.5, nous avons
1 E (τ ) ≤
M
i=1
1 E (τ
i ).
Prenons l’espérance et appliquons la propriété de branchement (2.4). Nous obtenons
P(E) ≤ f (P(E)).
où f désigne la fonction génératrice de la loi de reproduction, définie en (5.1). Par
(i) de la définition 5.5, on sait que P(E) ≥ q. Grâce aux propriétés de la fonction
f établies dans la proposition 5.2 et visibles sur la figure 5.1, nous déduisons que
P(E) ∈ {q, 1}.
Appliquons ce qui précède à {W = 0} qui est bien une propriété héritée, grâce à
l’équation (5.3). Nous obtenons :
Proposition 5.7 Soit W la limite de la martingale de Galton-Watson. Alors P(W =
0) = q ou 1.