5.1 Arbres de Galton-Watson
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(ii) si m > 1 (processus dit surcritique), il y a extinction avec probabilité q < 1.
Lorsque p 0 = 0, il n’y a pas du tout extinction (q = 0), et l’arbre de GaltonWatson est alors infini presque sûrement.
Il est facile de déduire de l’équation (5.2) que E(Z n ) = m n . La proposition suivante
est un premier pas pour comparer Z n , la taille de la population à l’instant n, avec
m n .
Proposition 5.4 (martingale de Galton-Watson)
La suite (W n ) n≥0 définie par
W n =
Z n
m n
est une F n -martingale d’espérance égale à 1, appelée martingale de Galton-Watson,
qui converge p.s. vers une variable aléatoire W quand n → +∞.
En particulier E(Z n ) = m n .
Preuve Cette démonstration est typique d’un raisonnement forward. Le nombre
d’individus de la (n + 1)-ième génération peut s’écrire
Z n+1 =
u,|u|=n
Z 1 (τ
u )
où τ u est le sous-arbre issu de u, de sorte qu’avec la propriété de branchement (2.4),
E
Z n+1
m n+1
Fn
=
1
m n+1
u,|u|=n
E(Z 1 ) =
Z n
m n .
Par conséquent, la suite
Z n
m n
est une martingale. Comme elle est positive, elle
converge presque sûrement (cf. annexe C.8 et le corollaire C.26).
De la même manière, pour tout k ≥ 1, le nombre d’individus de la (n + k)-ième
génération peut s’écrire
Z n+k =
u,|u|=n
Z k (τ
u ),
où τ u est le sous-arbre issu de u. Et donc
Z n+k
m n+k =
1
m n
u,|u|=n
Z k (τ u )
m k .
Notons que par la propriété de branchement, conditionnellement à F n , les τ u sont
indépendants et de même loi que τ . Notons W (τ u ) = lim
k→∞
Z k (τ u )
m k de sorte qu’en