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5 Approche probabiliste
L’équation (5.2) entraîne P(Z n = 0) = f (n) (0). De plus, la suite des événements
{Z n = 0} est croissante, car si Z n = 0, alors Z n+1 = 0. Cela amène à définir
l’extinction de la façon suivante.
Définition 5.1 Le temps d’extinction du processus est T défini par
T = inf{n ≥ 0, Z n = 0},
avec la convention T = +∞ si pour tout n ≥ 0, Z n = 0. La probabilité d’extinction
du processus est q définie par
q = P(∃n, Z n = 0) = P(T < ∞).
La proposition suivante se déduit facilement de cette définition.
Proposition 5.2 (probabilité d’extinction du processus)
Soit (Z n ) n≥0 un processus de Galton-Watson de loi de reproduction (p k ) k≥0 , de
moyenne m et de fonction génératrice f . Supposons p 1 = 1 (sinon le cas est trivial).
Soit q la probabilité d’extinction du processus, définie par q = P (∃n ≥ 0, Z n = 0),
alors
(i) q = lim
n→+∞
f
(n) (0) ; de plus q est la plus petite racine dans [0, 1] de l’équation
f (s) = s ;
(ii) q = 1 ⇔ m ≤ 1 (processus dit sous-critique ou critique).
Par conséquent, l’extinction est déterminée par m ; les différentes formes de la
fonction f convexe, croissante de f (0) = p 0 à f (1) = 1 sont dessinées figure 5.1.
Remarquons que l’extinction presque sûre pour m = 1 n’est pas intuitivement
évidente.
Corollaire 5.3 (extinction du processus) Sous les hypothèses de la proposition 5.2,
(i) si m ≤ 1 (processus dit sous-critique ou critique), alors l’extinction est presque
sûre et l’arbre de Galton-Watson est fini presque sûrement.
Fig. 5.1 Graphe de trois fonctions génératrices f . À gauche, un cas surcritique où m > 1 ;
le graphe de f coupe la bissectrice en un point d’abscisse q. Au milieu un cas surcritique avec
p 0 = 0 = q et m > 1. À droite un cas sous-critique ou critique où m ≤ 1 et q = 1
5 Approche probabiliste
L’équation (5.2) entraîne P(Z n = 0) = f (n) (0). De plus, la suite des événements
{Z n = 0} est croissante, car si Z n = 0, alors Z n+1 = 0. Cela amène à définir
l’extinction de la façon suivante.
Définition 5.1 Le temps d’extinction du processus est T défini par
T = inf{n ≥ 0, Z n = 0},
avec la convention T = +∞ si pour tout n ≥ 0, Z n = 0. La probabilité d’extinction
du processus est q définie par
q = P(∃n, Z n = 0) = P(T < ∞).
La proposition suivante se déduit facilement de cette définition.
Proposition 5.2 (probabilité d’extinction du processus)
Soit (Z n ) n≥0 un processus de Galton-Watson de loi de reproduction (p k ) k≥0 , de
moyenne m et de fonction génératrice f . Supposons p 1 = 1 (sinon le cas est trivial).
Soit q la probabilité d’extinction du processus, définie par q = P (∃n ≥ 0, Z n = 0),
alors
(i) q = lim
n→+∞
f
(n) (0) ; de plus q est la plus petite racine dans [0, 1] de l’équation
f (s) = s ;
(ii) q = 1 ⇔ m ≤ 1 (processus dit sous-critique ou critique).
Par conséquent, l’extinction est déterminée par m ; les différentes formes de la
fonction f convexe, croissante de f (0) = p 0 à f (1) = 1 sont dessinées figure 5.1.
Remarquons que l’extinction presque sûre pour m = 1 n’est pas intuitivement
évidente.
Corollaire 5.3 (extinction du processus) Sous les hypothèses de la proposition 5.2,
(i) si m ≤ 1 (processus dit sous-critique ou critique), alors l’extinction est presque
sûre et l’arbre de Galton-Watson est fini presque sûrement.
Fig. 5.1 Graphe de trois fonctions génératrices f . À gauche, un cas surcritique où m > 1 ;
le graphe de f coupe la bissectrice en un point d’abscisse q. Au milieu un cas surcritique avec
p 0 = 0 = q et m > 1. À droite un cas sous-critique ou critique où m ≤ 1 et q = 1