5.1 Arbres de Galton-Watson
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la moyenne du nombre d’enfants de n’importe quel individu. Dans la suite nous
supposerons toujours que la moyenne m est finie (attention, cela ne veut pas dire du
tout que M est borné).
Alors la fonction génératrice de Z n est donnée explicitement par
E(s
Z n ) = f
(n) (s)
(5.2)
où f (n) (s) = f ◦ f ◦ · · · ◦ f (s), n fois et ◦ dénote la composition des fonctions.
Il est intéressant de noter que la formule (5.2) se démontre de deux manières, par
un raisonnement « backward » ou par un raisonnement « forward ». En effet, par
l’égalité backward (2.2),
Z n =
M
j =1
Z n−1 (τ
j )
où les τ j sont les sous-arbres issus des enfants de l’ancêtre. Et donc par récurrence
sur n, en conditionnant par M et en appliquant la propriété de branchement de la
proposition 2.1 (en se rappelant les propriétés de l’espérance conditionnelle, cf.
annexe C.7),
E(s
Z n ) = E
M
j =1
s
Z n−1 (τ j )
= E
⎛
⎝ E
⎛
⎝
M
j =1
s
Z n−1 (τ j )
M
⎞
⎠
⎞
⎠
= E
⎛
⎝
M
j =1
f
(n−1) (s)
⎞
⎠ = E
(f
(n−1) (s))
M
= f ◦ f
(n−1) (s).
Par l’égalité forward (2.3),
Z n =
u,|u|=n−1
M u
et donc par la propriété de branchement (2.4) appliquée à la n − 1-ième génération
(en appelant F n la tribu 2 du passé avant n, c’est-à-dire que F n est engendrée par les
M u pour les u tels que |u| ≤ n − 1),
E(s
Z n ) = E
⎛
⎝
u,|u|=n−1
s
M u
⎞
⎠ = E
⎛
⎝ E
⎛
⎝
u,|u|=n−1
s
M u
Fn−1
⎞
⎠
⎞
⎠
= E
⎛
⎝
u,|u|=n−1
f (s)
⎞
⎠ = E
(f (s))
Z n−1
= f
(n−1)
◦ f (s).
2 Les notions de tribu, filtration, martingale sont résumées dans la section C.8.