184
5 Approche probabiliste
processus de Galton-Watson où
Z n = nombre d’individus de la n-ième génération,
est aussi le nombre de nœuds au niveau n. Nous supposerons tout le long de ce
chapitre que nous ne sommes pas dans l’un des cas triviaux p 0 = 1 (arbre réduit à
sa racine) ou p 1 = 1 (arbre bambou).
Cette section s’appuie sur l’exposition classique du livre d’Athreya et Ney [12]
ainsi que sur le point de vue plus récent de Lyons, Pemantle et Peres [171, 205]. En
particulier la notion d’arbre biaisé de la section 5.1.2 conduit à un changement de
probabilité et revient à concentrer toute l’information stochastique sur une branche
de l’arbre.
5.1.1 Extinction ou non ?
La première question qui se pose est celle de l’extinction du processus : il est assez
intuitif de penser que lorsque la moyenne m du nombre d’enfants de chaque individu
est strictement plus grande que 1 le processus ne va jamais s’éteindre, alors que si
m < 1 le processus va s’éteindre presque sûrement. C’est effectivement ce qui se
passe (voir la proposition 5.2 ci-dessous). Néanmoins, le cas m = 1 n’est pas aussi
intuitif : extinction ou non ?
Rappelons quelques notations :
M = Z 1 = nombre d’enfants de l’ancêtre,
où dans ce chapitre nous utilisons plutôt le mot « ancêtre » que le mot racine. Notons
f la fonction génératrice 1 de la loi de reproduction (p k ) k≥0 de M : pour tout s ∈
[0, 1],
f (s) = E(s
M ) =
k≥0
p k s
k
= E(s
Z 1 ).
(5.1)
La fonction f est convexe, croissante sur l’intervalle [0, 1]. Appelons
m = f
(1) =
k≥0
kp k = E(M)
1 Cette fonction génératrice peut sans encombre être définie sur le disque de convergence de la série
entière, dans le plan complexe, néanmoins c’est sur l’intervalle [0, 1] que nous allons l’étudier et
utiliser ses propriétés de convexité.
5 Approche probabiliste
processus de Galton-Watson où
Z n = nombre d’individus de la n-ième génération,
est aussi le nombre de nœuds au niveau n. Nous supposerons tout le long de ce
chapitre que nous ne sommes pas dans l’un des cas triviaux p 0 = 1 (arbre réduit à
sa racine) ou p 1 = 1 (arbre bambou).
Cette section s’appuie sur l’exposition classique du livre d’Athreya et Ney [12]
ainsi que sur le point de vue plus récent de Lyons, Pemantle et Peres [171, 205]. En
particulier la notion d’arbre biaisé de la section 5.1.2 conduit à un changement de
probabilité et revient à concentrer toute l’information stochastique sur une branche
de l’arbre.
5.1.1 Extinction ou non ?
La première question qui se pose est celle de l’extinction du processus : il est assez
intuitif de penser que lorsque la moyenne m du nombre d’enfants de chaque individu
est strictement plus grande que 1 le processus ne va jamais s’éteindre, alors que si
m < 1 le processus va s’éteindre presque sûrement. C’est effectivement ce qui se
passe (voir la proposition 5.2 ci-dessous). Néanmoins, le cas m = 1 n’est pas aussi
intuitif : extinction ou non ?
Rappelons quelques notations :
M = Z 1 = nombre d’enfants de l’ancêtre,
où dans ce chapitre nous utilisons plutôt le mot « ancêtre » que le mot racine. Notons
f la fonction génératrice 1 de la loi de reproduction (p k ) k≥0 de M : pour tout s ∈
[0, 1],
f (s) = E(s
M ) =
k≥0
p k s
k
= E(s
Z 1 ).
(5.1)
La fonction f est convexe, croissante sur l’intervalle [0, 1]. Appelons
m = f
(1) =
k≥0
kp k = E(M)
1 Cette fonction génératrice peut sans encombre être définie sur le disque de convergence de la série
entière, dans le plan complexe, néanmoins c’est sur l’intervalle [0, 1] que nous allons l’étudier et
utiliser ses propriétés de convexité.