4.3. QUELQUES PROPRIÉTÉS DU MOUVEMENT BROWNIEN
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4.3 Quelques propriétés du mouvement brownien
• A l’aide de la définition du mouvement brownien (Définition 4.2.5), nous pouvons montrer les deux propriétés fondamentales suivantes, dont la preuve est laissée en exercice
(voir Exercice 4.8.1).
Proposition 4.3.1 Soit (B t , t ≥ 0) un mouvement brownien.
(i) Propriété de symétrie : Le processus B
défini pour tout t > 0 par B
t = −B t , est un
mouvement brownien.
(ii) Propriété d’auto-similarité : Pour tout c > 0, le processus B
(c) défini pour tout t > 0
par B
(c)
t =
1
c
B c 2 t , est un mouvement brownien.
Cette propriété d’auto-similarité justifie l’aspect fractal des trajectoires du mouvement
brownien.
• Nous pouvons facilement calculer la covariance de B t et B s pour tous t, s > 0 :
E(B t B s ) = t ∧ s.
En effet, si s < t et puisque les accroissements sont indépendants,
E(B t B s ) = E((B t − B s )B s + B
2
s ) = E(B t − B s ) E(B s ) + E(B
2
s ) = s.
• Il est également possible de décrire le comportement en temps long du mouvement
brownien grâce à la “loi du logarithme itéré” suivante.
Proposition 4.3.2
P
lim sup
t→+∞
B t
√
2t log log t
= 1 et lim inf
t→+∞
B t
√
2t log log t
= −1
= 1.
(4.3.4)
La preuve de la Proposition 4.3.2 sera développée dans l’Exercice 4.8.4.
• Etudions maintenant les propriétés de régularité des trajectoires du mouvement brownien. Remarquons tout d’abord qu’il n’est pas nécessaire d’inclure une propriété de régularité des trajectoires dans la définition du mouvement brownien. En effet, si un processus
vérifie toutes les propriétés de la Définition 4.2.5 , il admet une modification à trajectoires
continues, au sens où il existe une fonction aléatoire W à valeurs dans l’ensemble des
fonctions continues de R + dans R telle que pour tout t ≥ 0, P(B t = W t ) = 1. La preuve
de ce résultat est fondée sur le critère suivant, appelé critère de continuité de Kolmogorov.
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4.3 Quelques propriétés du mouvement brownien
• A l’aide de la définition du mouvement brownien (Définition 4.2.5), nous pouvons montrer les deux propriétés fondamentales suivantes, dont la preuve est laissée en exercice
(voir Exercice 4.8.1).
Proposition 4.3.1 Soit (B t , t ≥ 0) un mouvement brownien.
(i) Propriété de symétrie : Le processus B
défini pour tout t > 0 par B
t = −B t , est un
mouvement brownien.
(ii) Propriété d’auto-similarité : Pour tout c > 0, le processus B
(c) défini pour tout t > 0
par B
(c)
t =
1
c
B c 2 t , est un mouvement brownien.
Cette propriété d’auto-similarité justifie l’aspect fractal des trajectoires du mouvement
brownien.
• Nous pouvons facilement calculer la covariance de B t et B s pour tous t, s > 0 :
E(B t B s ) = t ∧ s.
En effet, si s < t et puisque les accroissements sont indépendants,
E(B t B s ) = E((B t − B s )B s + B
2
s ) = E(B t − B s ) E(B s ) + E(B
2
s ) = s.
• Il est également possible de décrire le comportement en temps long du mouvement
brownien grâce à la “loi du logarithme itéré” suivante.
Proposition 4.3.2
P
lim sup
t→+∞
B t
√
2t log log t
= 1 et lim inf
t→+∞
B t
√
2t log log t
= −1
= 1.
(4.3.4)
La preuve de la Proposition 4.3.2 sera développée dans l’Exercice 4.8.4.
• Etudions maintenant les propriétés de régularité des trajectoires du mouvement brownien. Remarquons tout d’abord qu’il n’est pas nécessaire d’inclure une propriété de régularité des trajectoires dans la définition du mouvement brownien. En effet, si un processus
vérifie toutes les propriétés de la Définition 4.2.5 , il admet une modification à trajectoires
continues, au sens où il existe une fonction aléatoire W à valeurs dans l’ensemble des
fonctions continues de R + dans R telle que pour tout t ≥ 0, P(B t = W t ) = 1. La preuve
de ce résultat est fondée sur le critère suivant, appelé critère de continuité de Kolmogorov.
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