CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Théorème 4.3.3 Critère de continuité de Kolmogorov. Soit X : Ω × [0, 1] → R
un processus stochastique et supposons qu’il existe trois constantes strictement positives
γ, β, C avec, pour tous 0 ≤ s, t ≤ 1,
E(|X t − X s |
γ ) ≤ C |t − s|
1+β .
(4.3.5)
Alors X admet une modification presque-sûrement à trajectoires continues.
La grande force de ce théorème est qu’il caractérise une propriété de régularité des trajectoires (donc ω par ω) par une propriété des moments du processus. Il faut exiger un
peu plus qu’une simple lipschitzianité de ces moments, mais pas beaucoup plus. Bien sûr,
il est possible de généraliser l’intervalle de temps [0, 1] à tout intervalle de temps [0, T ].
Preuve. Nous allons montrer que X admet une modification ˜
X qui a une trajectoire
höldérienne pour tout ordre α <
β
γ
. Introduisons l’ensemble D des points dyadiques de
[0, 1] : D = ∪ m D m , où D m = {2
−m i; i entier ∈ [0, 2
m ]}. Soit Δ m = {(s, t) ∈ D
2
m ; |s − t| =
2
−m
}. Il y a moins de 2
m+1 telles paires. Posons K m = sup (s,t)∈Δm |X s − X t |.
Par hypothèse, on a
E(K
γ
m ) ≤
(s,t)∈Δm
E(|X s − X t |
γ ) ≤ C 2
−m(1+β) 2
m+1 = 2 C 2
−mβ .
Fixons m. Pour tout point s (resp. t) de D, il existe une suite croissante (s n ) de D, (resp.
(t n )), telle que pour tout n ≥ m, s n ≤ s, t n ≤ t avec s n , t n ∈ D n et s n = s (resp. t n = t)
pour un n. Si (s, t) ∈ D
2 avec |s − t| ≤ 2
−m , on pose s m = t m ou (s m , t m ) ∈ Δ m . Dans
tous les cas, nous avons
X s − X t =
∞
i=m
(X si+1 − X si ) + X sm − X tm +
∞
i=m
(X ti+1 − X ti ),
où les séries sont en fait des sommes finies. Nous en déduisons que
|X s − X t | ≤ K m + 2
∞
i=m+1
K i ≤ 2
∞
i=m
K i .
Définissons M α = sup {|X s − X t |/|s − t|
α ; s, t ∈ D, s = t}. Nous avons
M α ≤ sup
m∈N
2
(m+1)α
sup
2 −(m+1) ≤|s−t|≤2 −m
|X s − X t |; s, t ∈ D, s = t
≤ sup
m∈N
2.2
(m+1)α
∞
i=m
K i
≤ 2
(α+1)
∞
i=0
2
i α K i .
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Théorème 4.3.3 Critère de continuité de Kolmogorov. Soit X : Ω × [0, 1] → R
un processus stochastique et supposons qu’il existe trois constantes strictement positives
γ, β, C avec, pour tous 0 ≤ s, t ≤ 1,
E(|X t − X s |
γ ) ≤ C |t − s|
1+β .
(4.3.5)
Alors X admet une modification presque-sûrement à trajectoires continues.
La grande force de ce théorème est qu’il caractérise une propriété de régularité des trajectoires (donc ω par ω) par une propriété des moments du processus. Il faut exiger un
peu plus qu’une simple lipschitzianité de ces moments, mais pas beaucoup plus. Bien sûr,
il est possible de généraliser l’intervalle de temps [0, 1] à tout intervalle de temps [0, T ].
Preuve. Nous allons montrer que X admet une modification ˜
X qui a une trajectoire
höldérienne pour tout ordre α <
β
γ
. Introduisons l’ensemble D des points dyadiques de
[0, 1] : D = ∪ m D m , où D m = {2
−m i; i entier ∈ [0, 2
m ]}. Soit Δ m = {(s, t) ∈ D
2
m ; |s − t| =
2
−m
}. Il y a moins de 2
m+1 telles paires. Posons K m = sup (s,t)∈Δm |X s − X t |.
Par hypothèse, on a
E(K
γ
m ) ≤
(s,t)∈Δm
E(|X s − X t |
γ ) ≤ C 2
−m(1+β) 2
m+1 = 2 C 2
−mβ .
Fixons m. Pour tout point s (resp. t) de D, il existe une suite croissante (s n ) de D, (resp.
(t n )), telle que pour tout n ≥ m, s n ≤ s, t n ≤ t avec s n , t n ∈ D n et s n = s (resp. t n = t)
pour un n. Si (s, t) ∈ D
2 avec |s − t| ≤ 2
−m , on pose s m = t m ou (s m , t m ) ∈ Δ m . Dans
tous les cas, nous avons
X s − X t =
∞
i=m
(X si+1 − X si ) + X sm − X tm +
∞
i=m
(X ti+1 − X ti ),
où les séries sont en fait des sommes finies. Nous en déduisons que
|X s − X t | ≤ K m + 2
∞
i=m+1
K i ≤ 2
∞
i=m
K i .
Définissons M α = sup {|X s − X t |/|s − t|
α ; s, t ∈ D, s = t}. Nous avons
M α ≤ sup
m∈N
2
(m+1)α
sup
2 −(m+1) ≤|s−t|≤2 −m
|X s − X t |; s, t ∈ D, s = t
≤ sup
m∈N
2.2
(m+1)α
∞
i=m
K i
≤ 2
(α+1)
∞
i=0
2
i α K i .
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