4.3. QUELQUES PROPRIÉTÉS DU MOUVEMENT BROWNIEN
1
Pour γ ≥ 1 et α < β/γ, nous avons
E((M α )
γ )
1/γ ≤ 2
(α+1)
∞
i=0
2
i α E((K i )
γ )
1/γ ≤ 2
(α+1) (2C)
1/γ
∞
i=0
2
i (α−(β/γ)) < +∞.
Pour γ < 1, le même raisonnement s’applique à E((M α )
γ ).
Ainsi, pour presque tout ω, X est uniformément continu sur D. Nous allons alors poser,
pour un tel ω et t ∈ [0, 1],
˜
X t (ω) = lim
s→t,s∈D
X s (ω).
En effet, l’uniforme continuité et le critère de Cauchy impliquent que X sn (ω) admet une
limite, indépendante de toute suite s n ∈ D et convergeant vers t. Observons que trivialement, ˜
X t = X t pour t ∈ D. De plus, si t /
∈ D et si s n ∈ D est une suite convergeant vers t,
alors par définition, X sn converge presque-sûrement vers ˜
X t . Par ailleurs, par hypothèse,
P(|X t − X sn | > ε) ≤ Cε
−γ
|t − s n |
1+β , et X sn converge en probabilités vers X t . Nous en
déduisons que ˜
X est clairement la modification désirée.
Dans le cas du mouvement brownien, la variable aléatoire B t −B s est une variable aléatoire
normale centrée de variance |t − s|, donc
E(|B t − B s |
4 ) = 3 (t − s)
2 .
Nous en déduisons immédiatement le corollaire suivant.
Corollaire 4.3.4 Il existe un processus B presque-sûrement à trajectoires continues, à
accroissements indépendants et tel que pour tout t, la variable aléatoire est centrée, normale et de variance t. De plus, les trajectoires du processus sont höldériennes d’ordre α
pour tout α < 1/2 au sens où, pour presque tout ω, il existe une constante C(ω) telle que
pour tous 0 ≤ s, t ≤ T , |B t (ω) − B s (ω)| ≤ C(ω) |t − s|
α .
Un tel processus est appelé mouvement brownien standard. Dans toute la suite nous ne
considérerons que de tels processus que nous appellerons plus simplement mouvements
browniens.
En dehors de ces résultats de continuité, les propriétés de régularité du mouvement brownien sont très mauvaises. Remarquons tout d’abord que B a peu de chances d’être à
variation finie. En effet, puisque E(|B i/n − B (i−1)/n |
2 ) =
1
n
, |B i/n − B (i−1)/n | est d’ordre
de grandeur
1
√
n
. Ainsi
[nt]
i=1 |B i/n − B (i−1)/n | est d’ordre de grandeur
√
n et ne peut pas
converger pas quand n tend vers l’infini. En revanche nous allons montrer que la situation
est différente si l’on considère la “variation quadratique approchée de B au niveau n”,
définie comme étant le processus
V (B, n) t =
[nt]
i=1
(B i/n − B (i−1)/n )
2 .
(4.3.6)
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Pour γ ≥ 1 et α < β/γ, nous avons
E((M α )
γ )
1/γ ≤ 2
(α+1)
∞
i=0
2
i α E((K i )
γ )
1/γ ≤ 2
(α+1) (2C)
1/γ
∞
i=0
2
i (α−(β/γ)) < +∞.
Pour γ < 1, le même raisonnement s’applique à E((M α )
γ ).
Ainsi, pour presque tout ω, X est uniformément continu sur D. Nous allons alors poser,
pour un tel ω et t ∈ [0, 1],
˜
X t (ω) = lim
s→t,s∈D
X s (ω).
En effet, l’uniforme continuité et le critère de Cauchy impliquent que X sn (ω) admet une
limite, indépendante de toute suite s n ∈ D et convergeant vers t. Observons que trivialement, ˜
X t = X t pour t ∈ D. De plus, si t /
∈ D et si s n ∈ D est une suite convergeant vers t,
alors par définition, X sn converge presque-sûrement vers ˜
X t . Par ailleurs, par hypothèse,
P(|X t − X sn | > ε) ≤ Cε
−γ
|t − s n |
1+β , et X sn converge en probabilités vers X t . Nous en
déduisons que ˜
X est clairement la modification désirée.
Dans le cas du mouvement brownien, la variable aléatoire B t −B s est une variable aléatoire
normale centrée de variance |t − s|, donc
E(|B t − B s |
4 ) = 3 (t − s)
2 .
Nous en déduisons immédiatement le corollaire suivant.
Corollaire 4.3.4 Il existe un processus B presque-sûrement à trajectoires continues, à
accroissements indépendants et tel que pour tout t, la variable aléatoire est centrée, normale et de variance t. De plus, les trajectoires du processus sont höldériennes d’ordre α
pour tout α < 1/2 au sens où, pour presque tout ω, il existe une constante C(ω) telle que
pour tous 0 ≤ s, t ≤ T , |B t (ω) − B s (ω)| ≤ C(ω) |t − s|
α .
Un tel processus est appelé mouvement brownien standard. Dans toute la suite nous ne
considérerons que de tels processus que nous appellerons plus simplement mouvements
browniens.
En dehors de ces résultats de continuité, les propriétés de régularité du mouvement brownien sont très mauvaises. Remarquons tout d’abord que B a peu de chances d’être à
variation finie. En effet, puisque E(|B i/n − B (i−1)/n |
2 ) =
1
n
, |B i/n − B (i−1)/n | est d’ordre
de grandeur
1
√
n
. Ainsi
[nt]
i=1 |B i/n − B (i−1)/n | est d’ordre de grandeur
√
n et ne peut pas
converger pas quand n tend vers l’infini. En revanche nous allons montrer que la situation
est différente si l’on considère la “variation quadratique approchée de B au niveau n”,
définie comme étant le processus
V (B, n) t =
[nt]
i=1
(B i/n − B (i−1)/n )
2 .
(4.3.6)
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