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CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
L’indépendance des accroissements du mouvement brownien va nous permettre de montrer
la proposition suivante.
Proposition 4.3.5 Pour tout t > 0, la suite de variables aléatoires (V (B, n) t ) n définie
par (4.3.6) converge vers t dans L
2 , quand n tend vers l’infini.
Remarquons que cette limite est déterministe. Cela donne un caractère intrinsèque au
mouvement brownien et cela aura une grande importance dans la construction de l’intégrale stochastique.
Preuve. Chaque accroissement B i/n − B (i−1)/n est de loi normale N (0, 1/n) et donc
E(V (B, n) t ) =
[nt]
n
. Nous écrivons alors
E
(V (B, n) t − t)
2 ≤ 2
E
V (B, n) t −
[nt]
n
2
+
[nt]
n
− t
2
.
(4.3.7)
Comme les accroissements (B i/n − B (i−1)/n )
2
−
1
n
sont indépendants et que
E
(B i/n − B (i−1)/n
2 ) =
1
n
et E
(B i/n − B (i−1)/n
4 ) =
3
n 2 , nous pouvons en déduire les
calculs suivants.
E
⎛
⎝
⎛
⎝
[nt]
i=1
B i/n − B (i−1)/n
2 −
[nt]
n
⎞
⎠
2 ⎞
⎠ =
[nt]
i=1
E
B i/n − B (i−1)/n
2 −
1
n
2
=
[nt]
i=1
E
B i/n − B (i−1)/n
4
−
1
n 2
=
2
n 2 × [nt].
Ainsi, E
(V (B, n) t − t)
2
est équivalent à
2t
n
et converge vers 0 quand n tend vers l’infini.
Nous en déduisons que (V (B, n) t ) n converge vers t dans L
2 .
Une conséquence fondamentale, qui montre la grande irrégularité des trajectoires du mouvement brownien, est la proposition suivante.
Proposition 4.3.6 Les trajectoires t → B t sont presque-sûrement nulle part dérivables.
Remarque 4.3.7 Pour cette raison, nous ne pourrons pas définir simplement l’intégrale
t
0
f (s)dB s (ω), pour ω donné. Cela va justifier ultérieurement la construction de l’intégrale
stochastique.
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