4.4. PROPRIÉTÉ DE MARKOV ET MOUVEMENT BROWNIEN
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Preuve. Nous savons que la convergence dans L
2 d’une suite de variables aléatoires
entraîne la convergence presque-sûre d’une sous-suite. Ainsi, nous déduisons de la Proposition 4.3.5 qu’en dehors d’un ensemble de probabilité nulle, et pour toute paire de
nombres rationnels p, q, il existe une subdivision (t i ) i de pas
1
n
de [p, q] telle que
lim
n→+∞
[nq]
i=[np]
B ti (ω) − B ti−1 (ω)
2 = q − p.
Si nous avions |B t (ω) − B s (ω)| ≤ k|t − s| pour p ≤ s < t ≤ q, nous en déduirions que
[nq]
i=[np]
B ti (ω) − B ti−1 (ω)
2 ≤ k
2 (q − p) sup
i
|t i − t i−1 | =
k
2 (q − p)
n
.
Quand n → ∞, le fait que le terme de gauche tende vers une limite finie non nulle entraînerait une contradiction. Les trajectoires du mouvement brownien ne peuvent donc être
lipschitziennes sur aucun sous-intervalle [p, q] de R + , avec p et q nombres rationnels. Par
densité de Q dans R, nous en déduisons que les trajectoires du mouvement brownien ne sont
presque-sûrement nulle part dérivables.
4.4 Propriété de Markov et mouvement brownien
Nous avons défini au Chapitre 2.1.1 ce qu’est la filtration associée à une chaîne de Markov,
ou plus généralement associée à un processus indexé par le temps discret. C’est une suite
croissante (pour l’inclusion) de tribus qui modélise l’évolution de l’information donnée par
le processus au cours du temps. Nous allons généraliser cette notion pour un processus
indexé par le temps continu.
Remarque 4.4.1 Dans la suite, les processus que nous considérerons auront presquesûrement des trajectoires continues à droite et admettant une limite à gauche en tout
point. Cette propriété de régularité en temps est fondamentale pour que les propriétés de
Markov et de martingale aient un sens. Cette propriété d’être continu à droite et d’avoir
une limite à gauche (càdlàg) sera donc implicite dans la suite de cet ouvrage.
Définition 4.4.2 Soit X = (X t ) t≥0 un processus aléatoire défini sur un espace de probabilité (Ω, A, P ). On appelle filtration engendrée par X la famille croissante (F
X
t ) t≥0 , où
F
X
t est la tribu engendrée par les variables aléatoires {X s , s ≤ t}. La tribu F
X
t est la plus
petite tribu rendant mesurables les variables X s , pour s ≤ t. Elle décrit les événements
réalisés par le processus avant l’instant t.
Nous pouvons généraliser la notion de propriété de Markov au temps continu.
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Preuve. Nous savons que la convergence dans L
2 d’une suite de variables aléatoires
entraîne la convergence presque-sûre d’une sous-suite. Ainsi, nous déduisons de la Proposition 4.3.5 qu’en dehors d’un ensemble de probabilité nulle, et pour toute paire de
nombres rationnels p, q, il existe une subdivision (t i ) i de pas
1
n
de [p, q] telle que
lim
n→+∞
[nq]
i=[np]
B ti (ω) − B ti−1 (ω)
2 = q − p.
Si nous avions |B t (ω) − B s (ω)| ≤ k|t − s| pour p ≤ s < t ≤ q, nous en déduirions que
[nq]
i=[np]
B ti (ω) − B ti−1 (ω)
2 ≤ k
2 (q − p) sup
i
|t i − t i−1 | =
k
2 (q − p)
n
.
Quand n → ∞, le fait que le terme de gauche tende vers une limite finie non nulle entraînerait une contradiction. Les trajectoires du mouvement brownien ne peuvent donc être
lipschitziennes sur aucun sous-intervalle [p, q] de R + , avec p et q nombres rationnels. Par
densité de Q dans R, nous en déduisons que les trajectoires du mouvement brownien ne sont
presque-sûrement nulle part dérivables.
4.4 Propriété de Markov et mouvement brownien
Nous avons défini au Chapitre 2.1.1 ce qu’est la filtration associée à une chaîne de Markov,
ou plus généralement associée à un processus indexé par le temps discret. C’est une suite
croissante (pour l’inclusion) de tribus qui modélise l’évolution de l’information donnée par
le processus au cours du temps. Nous allons généraliser cette notion pour un processus
indexé par le temps continu.
Remarque 4.4.1 Dans la suite, les processus que nous considérerons auront presquesûrement des trajectoires continues à droite et admettant une limite à gauche en tout
point. Cette propriété de régularité en temps est fondamentale pour que les propriétés de
Markov et de martingale aient un sens. Cette propriété d’être continu à droite et d’avoir
une limite à gauche (càdlàg) sera donc implicite dans la suite de cet ouvrage.
Définition 4.4.2 Soit X = (X t ) t≥0 un processus aléatoire défini sur un espace de probabilité (Ω, A, P ). On appelle filtration engendrée par X la famille croissante (F
X
t ) t≥0 , où
F
X
t est la tribu engendrée par les variables aléatoires {X s , s ≤ t}. La tribu F
X
t est la plus
petite tribu rendant mesurables les variables X s , pour s ≤ t. Elle décrit les événements
réalisés par le processus avant l’instant t.
Nous pouvons généraliser la notion de propriété de Markov au temps continu.
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