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CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Définition 4.4.3 Un processus (X t , t ≥ 0) satisfait la propriété de Markov si pour tous
s, t ≥ 0, et pour toute fonction f mesurable bornée sur R,
E(f (X t+s )|F
X
t ) = E(f (X t+s )|X t ).
(4.4.8)
Le processus X est alors appelé processus de Markov.
La formule (4.4.8) entraîne en particulier que l’espérance conditionnelle de f (X t+s ) sachant F
X
t est une fonction mesurable de X t . Cette fonction dépend a priori de s et de t.
Un cas particulier important est celui où elle ne dépend que du temps s, c’est à dire de
l’accroissement entre t et t + s.
Définition 4.4.4 Si pour tout s ≥ 0, il existe une fonction mesurable bornée h s sur R,
telle que pour tout t ≥ 0,
E(f (X t+s )|F
X
t ) = h s (X t ),
le processus X est appelé processus de Markov homogène en temps.
Limitons-nous maintenant à l’étude des processus de Markov homogènes en temps. Introduisons la famille d’opérateurs (P t ) t≥0 , définis pour toute fonction mesurable bornée f
et tout x ∈ R par
P t f (x) = E(f (X t )|X 0 = x).
(4.4.9)
Nous avons alors que h s (x) = P s f (x) et donc
E(f (X t+s )|F
X
t ) = P s f (X t ).
(4.4.10)
Proposition 4.4.5 La famille d’opérateurs (P t ) t≥0 suffit à caractériser la loi du processus X.
Preuve. En effet, si 0 < s < t et si f et g sont deux fonctions mesurables bornées et
x ∈ R, on a grâce à la propriété de Markov et à (4.4.10)
E(f (X s ) g(X t )|X 0 = x) = E(E(f (X s ) g(X t ) |F
X
s ) |X 0 = x)
= E(f (X s ) E(g(X t ) |F
X
s ) |X 0 = x)
= E(f (X s ) P t−s g(X s ) |X 0 = x)
= P s (f P t−s g)(x).
Les marginales bi-dimensionnelles de X sont donc caractérisées par le semi-groupe (P t ) t .
Il est facile de montrer qu’il en est de même des marginales d-dimensionnelles, ce qui
caractérise la loi du processus. (Voir Théorème 4.2.2).
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CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Définition 4.4.3 Un processus (X t , t ≥ 0) satisfait la propriété de Markov si pour tous
s, t ≥ 0, et pour toute fonction f mesurable bornée sur R,
E(f (X t+s )|F
X
t ) = E(f (X t+s )|X t ).
(4.4.8)
Le processus X est alors appelé processus de Markov.
La formule (4.4.8) entraîne en particulier que l’espérance conditionnelle de f (X t+s ) sachant F
X
t est une fonction mesurable de X t . Cette fonction dépend a priori de s et de t.
Un cas particulier important est celui où elle ne dépend que du temps s, c’est à dire de
l’accroissement entre t et t + s.
Définition 4.4.4 Si pour tout s ≥ 0, il existe une fonction mesurable bornée h s sur R,
telle que pour tout t ≥ 0,
E(f (X t+s )|F
X
t ) = h s (X t ),
le processus X est appelé processus de Markov homogène en temps.
Limitons-nous maintenant à l’étude des processus de Markov homogènes en temps. Introduisons la famille d’opérateurs (P t ) t≥0 , définis pour toute fonction mesurable bornée f
et tout x ∈ R par
P t f (x) = E(f (X t )|X 0 = x).
(4.4.9)
Nous avons alors que h s (x) = P s f (x) et donc
E(f (X t+s )|F
X
t ) = P s f (X t ).
(4.4.10)
Proposition 4.4.5 La famille d’opérateurs (P t ) t≥0 suffit à caractériser la loi du processus X.
Preuve. En effet, si 0 < s < t et si f et g sont deux fonctions mesurables bornées et
x ∈ R, on a grâce à la propriété de Markov et à (4.4.10)
E(f (X s ) g(X t )|X 0 = x) = E(E(f (X s ) g(X t ) |F
X
s ) |X 0 = x)
= E(f (X s ) E(g(X t ) |F
X
s ) |X 0 = x)
= E(f (X s ) P t−s g(X s ) |X 0 = x)
= P s (f P t−s g)(x).
Les marginales bi-dimensionnelles de X sont donc caractérisées par le semi-groupe (P t ) t .
Il est facile de montrer qu’il en est de même des marginales d-dimensionnelles, ce qui
caractérise la loi du processus. (Voir Théorème 4.2.2).
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