4.4. PROPRIÉTÉ DE MARKOV ET MOUVEMENT BROWNIEN
Nous pouvons également montrer que la famille (P t ) t vérifie la propriété dite de semigroupe :
P t+s f (x) = P t (P s f )(x) = P s (P t f )(x) ; P 0 f (x) = f (x).
En effet, de la même façon que ci-dessus, nous avons
P t+s f (x) = E(f (X t+s ) |X 0 = x)
= E( E(f (X t+s ) |F
X
t ) |X 0 = x)
= E(P s f (X t ) |X 0 = x) = P t (P s f )(x).
Définition 4.4.6 La famille d’opérateurs (P t ) t≥0 définie par (4.4.9) est appelée le semigroupe de transition du processus de Markov homogène X.
Théorème 4.4.7 Le mouvement brownien est un processus de Markov homogène, de
semi-groupe de transition défini pour f mesurable bornée et pour tous x ∈ R, t > 0 par
P t f (x) = E(f (B t ) |B 0 = x) =
R
f (y)
1
√
2πt
exp
−
(y − x)
2
2t
dy.
(4.4.11)
Preuve. Considérons un mouvement brownien B sur (Ω, A, P ), et (F
B
t ) t≥0 la filtration
qu’il engendre. Puisqu’il est à accroissements indépendants, la variable Y = B t+s − B s
est indépendante de la tribu F
B
s et a pour loi la loi normale N (0, t). Ainsi pour chaque
fonction f borélienne bornée sur R, pour tous t, s > 0,
E(f (B t+s )|F
B
s ) = E(f (B s + Y )|F
B
s ) =
R
1
√
2πt
e
−x 2 /2t f (B s + x) dx.
(4.4.12)
Cette formule montre que conditionnellement à F
B
s , la loi de B t+s dépend du passé (i.e.
de toutes les variables B r pour r ≤ s) par la loi de la valeur “présente” B s du processus, à
travers une fonction de l’accroissement de temps t. Le mouvement brownien est donc un
processus de Markov homogène, de semi-groupe de transition donné par (4.4.11).
Remarquons que pour le mouvement brownien, P t f (x) =
R
f (y) p(t, x, y)dy, avec
p(t, x, y) =
1
√
2πt
exp
−
(y − x)
2
2t
.
(4.4.13)
La fonction p(t, x, .) est la densité au temps t du mouvement brownien, issu de x au
temps 0.
En utilisant (4.4.13), il est facile de montrer par des calculs simples que si f est une
fonction continue bornée, la fonction u(t, x) = P t f (x) =
p(t, x, y) f (y)dy est l’unique
solution régulière de l’équation aux dérivées partielles
∂u
∂t
(t, x) =
1
2
∂
2 u
∂x 2 (t, x) ; u(0, x) = f (x), x ∈ R, t > 0.
(4.4.14)
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Nous pouvons également montrer que la famille (P t ) t vérifie la propriété dite de semigroupe :
P t+s f (x) = P t (P s f )(x) = P s (P t f )(x) ; P 0 f (x) = f (x).
En effet, de la même façon que ci-dessus, nous avons
P t+s f (x) = E(f (X t+s ) |X 0 = x)
= E( E(f (X t+s ) |F
X
t ) |X 0 = x)
= E(P s f (X t ) |X 0 = x) = P t (P s f )(x).
Définition 4.4.6 La famille d’opérateurs (P t ) t≥0 définie par (4.4.9) est appelée le semigroupe de transition du processus de Markov homogène X.
Théorème 4.4.7 Le mouvement brownien est un processus de Markov homogène, de
semi-groupe de transition défini pour f mesurable bornée et pour tous x ∈ R, t > 0 par
P t f (x) = E(f (B t ) |B 0 = x) =
R
f (y)
1
√
2πt
exp
−
(y − x)
2
2t
dy.
(4.4.11)
Preuve. Considérons un mouvement brownien B sur (Ω, A, P ), et (F
B
t ) t≥0 la filtration
qu’il engendre. Puisqu’il est à accroissements indépendants, la variable Y = B t+s − B s
est indépendante de la tribu F
B
s et a pour loi la loi normale N (0, t). Ainsi pour chaque
fonction f borélienne bornée sur R, pour tous t, s > 0,
E(f (B t+s )|F
B
s ) = E(f (B s + Y )|F
B
s ) =
R
1
√
2πt
e
−x 2 /2t f (B s + x) dx.
(4.4.12)
Cette formule montre que conditionnellement à F
B
s , la loi de B t+s dépend du passé (i.e.
de toutes les variables B r pour r ≤ s) par la loi de la valeur “présente” B s du processus, à
travers une fonction de l’accroissement de temps t. Le mouvement brownien est donc un
processus de Markov homogène, de semi-groupe de transition donné par (4.4.11).
Remarquons que pour le mouvement brownien, P t f (x) =
R
f (y) p(t, x, y)dy, avec
p(t, x, y) =
1
√
2πt
exp
−
(y − x)
2
2t
.
(4.4.13)
La fonction p(t, x, .) est la densité au temps t du mouvement brownien, issu de x au
temps 0.
En utilisant (4.4.13), il est facile de montrer par des calculs simples que si f est une
fonction continue bornée, la fonction u(t, x) = P t f (x) =
p(t, x, y) f (y)dy est l’unique
solution régulière de l’équation aux dérivées partielles
∂u
∂t
(t, x) =
1
2
∂
2 u
∂x 2 (t, x) ; u(0, x) = f (x), x ∈ R, t > 0.
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