CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Cette équation aux dérivées partielles s’appelle l’équation de la chaleur. Nous avons donc
exhibé une solution probabiliste à cette équation, à savoir u(t, x) = E(f (B t )|B 0 = x).
La définition du mouvement brownien se généralise au cas multi-dimensionnel.
Définition 4.4.8 Un mouvement brownien d-dimensionnel est un d-uplet B = (B
i ) 1≤i≤d
de d mouvements browniens à valeurs réelles B
i = (B
i
t ) t≥0 , indépendants entre eux.
Ce processus est encore un processus de Markov homogène et à accroissements indépendants et stationnaires. Une simulation de sa trajectoire est donnée à la Figure 4.4 dans
le cas bi-dimensionnel. Le processus peut être obtenu comme limite de marches aléatoires
renormalisées, comme le suggère la Figure 4.3.
Le semi-groupe du mouvement brownien d-dimensionnel est défini pour φ mesurable bornée sur R
d , x ∈ R
d et t > 0, par
P t φ(x) =
R d
φ(y)
1
(2πt) d/2 exp
−
y − x
2
2t
dy,
(4.4.15)
où . désigne la norme euclidienne et dy la mesure de Lebesgue sur R
d . Comme en
dimension 1, le mouvement brownien admet une densité en chaque temps t > 0, qui
permet d’obtenir la solution explicite de l’équation de la chaleur en dimension d
∂u
∂t
(t, x) =
1
2
Δu(t, x) ; u(0, x) = φ(x), x ∈ R
d , t > 0.
(4.4.16)
4.5 Martingales à temps continu et temps d’arrêt
4.5.1 Martingales à temps continu
Nous allons mettre en évidence une propriété fondamentale du mouvement brownien
concernant le comportement de ses fluctuations, à savoir la propriété de martingale.
Soit (B t , t ≥ 0) un mouvement brownien. Nous avons introduit au chapitre précedent
la filtration (F
B
t ) t engendrée par ce mouvement brownien : F
B
t = σ(B s , s ≤ t) (voir
Définition 4.4.2). En fait cette filtration n’est pas suffisamment grosse pour pouvoir développer le calcul stochastique dans le chapitre suivant. Nous allons introduire la filtration
augmentée de B, à savoir une filtration (F t ) t pour laquelle B est encore un mouvement
brownien, qui contient les ensembles négligeables et qui est continue à droite, au sens où
pour tout t ≥ 0,
F t = ∩ ε>0 F t+ε .
La tribu F t va donc permettre de prendre en compte des événements liés au comportement
du processus immédiatement après t. La construction de la filtration (F t ) t est développée
par exemple dans [45] Chap.2.7.
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Cette équation aux dérivées partielles s’appelle l’équation de la chaleur. Nous avons donc
exhibé une solution probabiliste à cette équation, à savoir u(t, x) = E(f (B t )|B 0 = x).
La définition du mouvement brownien se généralise au cas multi-dimensionnel.
Définition 4.4.8 Un mouvement brownien d-dimensionnel est un d-uplet B = (B
i ) 1≤i≤d
de d mouvements browniens à valeurs réelles B
i = (B
i
t ) t≥0 , indépendants entre eux.
Ce processus est encore un processus de Markov homogène et à accroissements indépendants et stationnaires. Une simulation de sa trajectoire est donnée à la Figure 4.4 dans
le cas bi-dimensionnel. Le processus peut être obtenu comme limite de marches aléatoires
renormalisées, comme le suggère la Figure 4.3.
Le semi-groupe du mouvement brownien d-dimensionnel est défini pour φ mesurable bornée sur R
d , x ∈ R
d et t > 0, par
P t φ(x) =
R d
φ(y)
1
(2πt) d/2 exp
−
y − x
2
2t
dy,
(4.4.15)
où . désigne la norme euclidienne et dy la mesure de Lebesgue sur R
d . Comme en
dimension 1, le mouvement brownien admet une densité en chaque temps t > 0, qui
permet d’obtenir la solution explicite de l’équation de la chaleur en dimension d
∂u
∂t
(t, x) =
1
2
Δu(t, x) ; u(0, x) = φ(x), x ∈ R
d , t > 0.
(4.4.16)
4.5 Martingales à temps continu et temps d’arrêt
4.5.1 Martingales à temps continu
Nous allons mettre en évidence une propriété fondamentale du mouvement brownien
concernant le comportement de ses fluctuations, à savoir la propriété de martingale.
Soit (B t , t ≥ 0) un mouvement brownien. Nous avons introduit au chapitre précedent
la filtration (F
B
t ) t engendrée par ce mouvement brownien : F
B
t = σ(B s , s ≤ t) (voir
Définition 4.4.2). En fait cette filtration n’est pas suffisamment grosse pour pouvoir développer le calcul stochastique dans le chapitre suivant. Nous allons introduire la filtration
augmentée de B, à savoir une filtration (F t ) t pour laquelle B est encore un mouvement
brownien, qui contient les ensembles négligeables et qui est continue à droite, au sens où
pour tout t ≥ 0,
F t = ∩ ε>0 F t+ε .
La tribu F t va donc permettre de prendre en compte des événements liés au comportement
du processus immédiatement après t. La construction de la filtration (F t ) t est développée
par exemple dans [45] Chap.2.7.
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