4.2. PROCESSUS ALÉATOIRE ET MOUVEMENT BROWNIEN
Preuve. Nous adaptons à ce cas particulier la preuve de la Proposition 4.2.4. Comme
nous l’avons vu au Théorème 4.2.2, il suffit de caractériser de manière unique la loi du
vecteur (B t1 , . . . , B t k ), pour tout entier k et pour tous temps t 1 , ..., t k . Nous pouvons nous
limiter à supposer que 0 ≤ t 1 < t 2 < . . . < t k , quitte à changer les notations. Les variables aléatoires B t1 , B t2 − B t1 , . . . , B t k − B t k−1 sont indépendantes et de lois respectives
N (0, t 1 ), N (0, t 2 − t 1 ), . . . , N (0, t k − t k−1 ). Le k-uplet B t1 , B t2 − B t1 , . . . , B t k − B t k−1 a donc
pour loi le produit tensoriel des lois. Pour obtenir la loi de (B t1 , . . . , B t k ), il suffit d’observer que celle-ci est la loi image de la précédente par l’application (x 1 , x 2 , . . . , x k ) −→
(x 1 , x 1 + x 2 , . . . , x 1 + x 2 + . . . + x k ). Elle est caractérisée de manière unique.
Historiquement, le mouvement brownien est associé à l’analyse de mouvements dont la
dynamique au cours du temps est si désordonnée qu’il semble difficile de la prévoir, même
pour un temps très court. C’est Robert Brown, botaniste anglais, qui décrivit en 1827 le
mouvement erratique de fines particules organiques (particules de pollen) en suspension
dans un gaz ou un fluide. Ce mouvement très irrégulier ne semblait pas admettre de
tangente ; on ne pouvait donc pas parler de sa vitesse, ni a fortiori lui appliquer les lois de
la mécanique. Le mouvement brownien fut introduit par Bachelier en 1900 pour modéliser
la dynamique du prix des actions à la Bourse. Il fut redécouvert par Einstein en 1905 et est
devenu l’un des outils majeurs en physique statistique et dans la modélisation probabiliste.
Remarque 4.2.7 Il y a plusieurs preuves de l’existence. Notre choix a été de construire
le mouvement brownien comme limite de marches aléatoires renormalisées.
Nous allons formaliser un peu plus les résultats du paragraphe 3.1.
Définition 4.2.8 On dit que la suite de processus (Z
n
t , t ≥ 0) n converge en loi au sens des
marginales de dimension finie vers le processus (Z t , t ≥ 0) si pour tout p-uplet de temps
0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p , le p-uplet de variables aléatoires (Z
n
t1 , Z
n
t2 , · · · , Z
n
tp ) converge en
loi, lorsque n tend vers l’infini, vers le p-uplet (Z t1 , Z t2 , · · · , Z tp ).
Remarque 4.2.9 Comme nous l’avons rappelé ci-dessus (Théorème 4.2.2), la loi d’un
processus stochastique Z est caractérisée par la loi de tous les p-uplets (Z t1 , Z t2 , · · · , Z tp ).
Ceci entraîne donc que la convergence en loi d’une suite de processus au sens des marginales fini-dimensionnelles, permet d’en caractériser la limite (en loi).
Théorème 4.2.10 Les suites de processus (X
n
t , t ≥ 0) n et (Y
n
t , t ≥ 0) n convergent en loi,
au sens des marginales fini-dimensionnelles, vers un mouvement brownien (B t , t ≥ 0).
Preuve. Il suffit d’appliquer la Proposition 4.1.4 et le Théorème 4.2.6.
La loi de (B t1 , B t2 , · · · , B tp ) est bien la loi des marginales aux temps 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p
d’un mouvement brownien.
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Preuve. Nous adaptons à ce cas particulier la preuve de la Proposition 4.2.4. Comme
nous l’avons vu au Théorème 4.2.2, il suffit de caractériser de manière unique la loi du
vecteur (B t1 , . . . , B t k ), pour tout entier k et pour tous temps t 1 , ..., t k . Nous pouvons nous
limiter à supposer que 0 ≤ t 1 < t 2 < . . . < t k , quitte à changer les notations. Les variables aléatoires B t1 , B t2 − B t1 , . . . , B t k − B t k−1 sont indépendantes et de lois respectives
N (0, t 1 ), N (0, t 2 − t 1 ), . . . , N (0, t k − t k−1 ). Le k-uplet B t1 , B t2 − B t1 , . . . , B t k − B t k−1 a donc
pour loi le produit tensoriel des lois. Pour obtenir la loi de (B t1 , . . . , B t k ), il suffit d’observer que celle-ci est la loi image de la précédente par l’application (x 1 , x 2 , . . . , x k ) −→
(x 1 , x 1 + x 2 , . . . , x 1 + x 2 + . . . + x k ). Elle est caractérisée de manière unique.
Historiquement, le mouvement brownien est associé à l’analyse de mouvements dont la
dynamique au cours du temps est si désordonnée qu’il semble difficile de la prévoir, même
pour un temps très court. C’est Robert Brown, botaniste anglais, qui décrivit en 1827 le
mouvement erratique de fines particules organiques (particules de pollen) en suspension
dans un gaz ou un fluide. Ce mouvement très irrégulier ne semblait pas admettre de
tangente ; on ne pouvait donc pas parler de sa vitesse, ni a fortiori lui appliquer les lois de
la mécanique. Le mouvement brownien fut introduit par Bachelier en 1900 pour modéliser
la dynamique du prix des actions à la Bourse. Il fut redécouvert par Einstein en 1905 et est
devenu l’un des outils majeurs en physique statistique et dans la modélisation probabiliste.
Remarque 4.2.7 Il y a plusieurs preuves de l’existence. Notre choix a été de construire
le mouvement brownien comme limite de marches aléatoires renormalisées.
Nous allons formaliser un peu plus les résultats du paragraphe 3.1.
Définition 4.2.8 On dit que la suite de processus (Z
n
t , t ≥ 0) n converge en loi au sens des
marginales de dimension finie vers le processus (Z t , t ≥ 0) si pour tout p-uplet de temps
0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p , le p-uplet de variables aléatoires (Z
n
t1 , Z
n
t2 , · · · , Z
n
tp ) converge en
loi, lorsque n tend vers l’infini, vers le p-uplet (Z t1 , Z t2 , · · · , Z tp ).
Remarque 4.2.9 Comme nous l’avons rappelé ci-dessus (Théorème 4.2.2), la loi d’un
processus stochastique Z est caractérisée par la loi de tous les p-uplets (Z t1 , Z t2 , · · · , Z tp ).
Ceci entraîne donc que la convergence en loi d’une suite de processus au sens des marginales fini-dimensionnelles, permet d’en caractériser la limite (en loi).
Théorème 4.2.10 Les suites de processus (X
n
t , t ≥ 0) n et (Y
n
t , t ≥ 0) n convergent en loi,
au sens des marginales fini-dimensionnelles, vers un mouvement brownien (B t , t ≥ 0).
Preuve. Il suffit d’appliquer la Proposition 4.1.4 et le Théorème 4.2.6.
La loi de (B t1 , B t2 , · · · , B tp ) est bien la loi des marginales aux temps 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p
d’un mouvement brownien.
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