CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Ce théorème, que nous ne démontrerons pas, est extrêmement utile pour prouver des
unicités en loi pour les processus. Il va nous permettre en particulier de caractériser la
loi d’un processus (B t , t ∈ R + ), appelé mouvement brownien, dont les coordonnées finidimensionnelles sont caractérisées (en loi) par la Proposition 4.1.4. Mais tout d’abord, nous
allons généraliser la notion de processus à acroissements indépendants et stationnaires
(PAIS), déjà vue pour des marches aléatoires (voir Définition 2.1.2) au cadre des processus
à temps continu.
Définition 4.2.3 Le processus (X t , t ∈ R + ) est un processus à acroissements indépendants et stationnaires (PAIS) si pour tous réels positifs 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t k , les
variables aléatoires (X t1 , X t2 − X t1 , . . . , X t k − X t k−1 ) sont indépendantes et si X t2 − X t1 a
même loi que X t2−t1 − X 0 .
Dans ce cas, la loi du processus est caractérisée par les lois de ses accroissemements.
Proposition 4.2.4 Soit (X t , t ≥ 0) un processus à accroissements indépendants et stationnaires. La loi du processus (X t , t ≥ 0) est caractérisée par les lois des variables
aléatoires X t − X 0 , pour t ≥ 0 et par celle de X 0 .
Preuve. Considérons un n-uplet 0 ≤ t 1 ≤ · · · ≤ t n . Comme les variables aléatoires
X t1 , X t2 −X t1 , · · · , X tn −X tn−1 sont indépendantes, la loi du vecteur (X t1 , X t2 −X t1 , · · · , X tn −
X tn−1 ) est connue dès lors que l’on connaît les lois des coordonnées : c’est le produit
tensoriel de ces lois. De plus la loi de la coordonnée X t k − X t k−1 est égale à la loi de
X t k −t k−1 − X 0 , qui est supposée connue. Il suffit alors d’utiliser le fait que la loi du vecteur
aléatoire (X t1 , X t2 , · · · , X tn ) est caractérisée par sa fonction caractéristique. En effet, nous
pouvons remarquer que pour (u 1 , · · · , u n ) ∈ C et en posant X t0 = 0,
E
e
i
n
k=1 u k Xt k
= E
e
i
n
k=1 (u k +···+un)(Xt k −Xt k−1 )
= Π
n
k=1 E
e
i (u k +···+un)(Xt k −Xt k−1 )
.
Le Théorème 4.2.2 permet de conclure.
Nous sommes alors en mesure de définir le mouvement brownien.
Définition 4.2.5 Un mouvement brownien est un processus (B t , t ∈ R + ) à accroissements indépendants et stationnaires, tel que pour tout temps t fixé, B t suit la loi N (0, t)
normale centrée de variance t.
Plus précisément, pour tous s, t ≥ 0, la variable B t+s − B t est indépendante des variables
(B r : r ≤ t), B 0 = 0, et de plus, la loi de l’accroissement B t+s − B t est la loi normale
N (0, s). Elle ne dépend donc que de s.
Théorème 4.2.6 La loi d’un processus (B t , t ≥ 0) à accroissements indépendants et
stationnaires, nul en 0 et tel que pour tout t, B t a la loi normale N (0, t), est unique.
C’est la loi du mouvement brownien.
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Ce théorème, que nous ne démontrerons pas, est extrêmement utile pour prouver des
unicités en loi pour les processus. Il va nous permettre en particulier de caractériser la
loi d’un processus (B t , t ∈ R + ), appelé mouvement brownien, dont les coordonnées finidimensionnelles sont caractérisées (en loi) par la Proposition 4.1.4. Mais tout d’abord, nous
allons généraliser la notion de processus à acroissements indépendants et stationnaires
(PAIS), déjà vue pour des marches aléatoires (voir Définition 2.1.2) au cadre des processus
à temps continu.
Définition 4.2.3 Le processus (X t , t ∈ R + ) est un processus à acroissements indépendants et stationnaires (PAIS) si pour tous réels positifs 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t k , les
variables aléatoires (X t1 , X t2 − X t1 , . . . , X t k − X t k−1 ) sont indépendantes et si X t2 − X t1 a
même loi que X t2−t1 − X 0 .
Dans ce cas, la loi du processus est caractérisée par les lois de ses accroissemements.
Proposition 4.2.4 Soit (X t , t ≥ 0) un processus à accroissements indépendants et stationnaires. La loi du processus (X t , t ≥ 0) est caractérisée par les lois des variables
aléatoires X t − X 0 , pour t ≥ 0 et par celle de X 0 .
Preuve. Considérons un n-uplet 0 ≤ t 1 ≤ · · · ≤ t n . Comme les variables aléatoires
X t1 , X t2 −X t1 , · · · , X tn −X tn−1 sont indépendantes, la loi du vecteur (X t1 , X t2 −X t1 , · · · , X tn −
X tn−1 ) est connue dès lors que l’on connaît les lois des coordonnées : c’est le produit
tensoriel de ces lois. De plus la loi de la coordonnée X t k − X t k−1 est égale à la loi de
X t k −t k−1 − X 0 , qui est supposée connue. Il suffit alors d’utiliser le fait que la loi du vecteur
aléatoire (X t1 , X t2 , · · · , X tn ) est caractérisée par sa fonction caractéristique. En effet, nous
pouvons remarquer que pour (u 1 , · · · , u n ) ∈ C et en posant X t0 = 0,
E
e
i
n
k=1 u k Xt k
= E
e
i
n
k=1 (u k +···+un)(Xt k −Xt k−1 )
= Π
n
k=1 E
e
i (u k +···+un)(Xt k −Xt k−1 )
.
Le Théorème 4.2.2 permet de conclure.
Nous sommes alors en mesure de définir le mouvement brownien.
Définition 4.2.5 Un mouvement brownien est un processus (B t , t ∈ R + ) à accroissements indépendants et stationnaires, tel que pour tout temps t fixé, B t suit la loi N (0, t)
normale centrée de variance t.
Plus précisément, pour tous s, t ≥ 0, la variable B t+s − B t est indépendante des variables
(B r : r ≤ t), B 0 = 0, et de plus, la loi de l’accroissement B t+s − B t est la loi normale
N (0, s). Elle ne dépend donc que de s.
Théorème 4.2.6 La loi d’un processus (B t , t ≥ 0) à accroissements indépendants et
stationnaires, nul en 0 et tel que pour tout t, B t a la loi normale N (0, t), est unique.
C’est la loi du mouvement brownien.
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