4.2. PROCESSUS ALÉATOIRE ET MOUVEMENT BROWNIEN
où les coordonnées limites sont indépendantes et suivent respectivement les lois N (0, t 1 ),
N (0, t 2 − t 1 ), · · · , N (0, t p − t p−1 ). Mais alors,
X
n
t2 = X
n
t1 + (X
n
t2 − X
n
t1 ) ; · · · ; X
n
tp = X
n
t1 + · · · + (X
n
tp − X
n
tp−1 )
et par suite,
(X
n
t1 , X
n
t2 , · · · , X
n
tp )
en loi
−→
n→∞
(B t1 , B t2 , · · · , B tp ).
Le vecteur (B t1 , B t2 , · · · , B tp ) est tel que les accroissements (B t1 , B t2 −B t1 , · · · , B tp −B tp−1 )
sont indépendants. De plus, pour chaque t i , la variable aléatoire B ti suit la loi normale
centrée de variance t i .
La preuve de (ii) découle de (i) et du raisonnement de la Proposition 4.1.3.
Pour chaque famille finie 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p , nous avons construit un vecteur aléatoire
(B t1 , B t2 , · · · , B tp ) unique en loi. Une question naturelle est de vouloir généraliser cette
convergence à celle d’un nombre infini de coordonnées. Plus précisément, nous pouvons
nous demander si la collection de variables aléatoires (X
n
t , t ∈ R + ) converge (et en quel
sens ?) vers une collection de variables aléatoires (B t , t ∈ R + ) définie de manière unique.
Cette question a engendré de multiples problèmes mathématiques et n’a été finalement
résolue qu’en 1933 par Kolmogorov.
4.2 Processus aléatoire et mouvement brownien
Définition 4.2.1 On appelle processus aléatoire (X t ) t≥0 une famille de variables aléatoires indexée par R + , toutes ces variables étant définies sur le même espace de probabilité
(Ω, A, P). On suppose ici que chaque X t est à valeurs réelles.
On peut également voir ce processus comme une variable aléatoire X définie sur (Ω, A, P)
et à valeurs dans l’ensemble des fonctions x : t → x t de R + dans R, qui à chaque ω
associe la fonction t → X t (ω).
La théorie moderne des probabilités repose sur les résultats fondamentaux de Kolmogorov
(1933) qui permettent de construire sur l’ensemble des fonctions de R + dans R une tribu
qui rend l’application X mesurable de (Ω, A) vers R
R+ (et permet donc de parler de
fonction aléatoire). Cette tribu est la plus petite tribu qui rend les applications x → x t
mesurables de R
R+ dans R pour tout t > 0 et est appelée tribu produit. Sa construction
est décrite dans [25] et détaillée dans [58] et [60]. Elle va en particulier permettre de
caractériser la loi du processus (i.e. une probabilité sur un espace de trajectoires), par la
connaissance des lois de vecteurs aléatoires (probabilités sur R
k ).
Théorème 4.2.2 (Kolmogorov, 1933) La loi d’un processus (X t , t ≥ 0), probabilité
sur R
R+ , est caractérisée par ses lois marginales de dimension finie, définies comme étant
les lois des k-uplets (X t1 , ..., X t k ), pour tous temps t 1 , ..., t k .
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où les coordonnées limites sont indépendantes et suivent respectivement les lois N (0, t 1 ),
N (0, t 2 − t 1 ), · · · , N (0, t p − t p−1 ). Mais alors,
X
n
t2 = X
n
t1 + (X
n
t2 − X
n
t1 ) ; · · · ; X
n
tp = X
n
t1 + · · · + (X
n
tp − X
n
tp−1 )
et par suite,
(X
n
t1 , X
n
t2 , · · · , X
n
tp )
en loi
−→
n→∞
(B t1 , B t2 , · · · , B tp ).
Le vecteur (B t1 , B t2 , · · · , B tp ) est tel que les accroissements (B t1 , B t2 −B t1 , · · · , B tp −B tp−1 )
sont indépendants. De plus, pour chaque t i , la variable aléatoire B ti suit la loi normale
centrée de variance t i .
La preuve de (ii) découle de (i) et du raisonnement de la Proposition 4.1.3.
Pour chaque famille finie 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p , nous avons construit un vecteur aléatoire
(B t1 , B t2 , · · · , B tp ) unique en loi. Une question naturelle est de vouloir généraliser cette
convergence à celle d’un nombre infini de coordonnées. Plus précisément, nous pouvons
nous demander si la collection de variables aléatoires (X
n
t , t ∈ R + ) converge (et en quel
sens ?) vers une collection de variables aléatoires (B t , t ∈ R + ) définie de manière unique.
Cette question a engendré de multiples problèmes mathématiques et n’a été finalement
résolue qu’en 1933 par Kolmogorov.
4.2 Processus aléatoire et mouvement brownien
Définition 4.2.1 On appelle processus aléatoire (X t ) t≥0 une famille de variables aléatoires indexée par R + , toutes ces variables étant définies sur le même espace de probabilité
(Ω, A, P). On suppose ici que chaque X t est à valeurs réelles.
On peut également voir ce processus comme une variable aléatoire X définie sur (Ω, A, P)
et à valeurs dans l’ensemble des fonctions x : t → x t de R + dans R, qui à chaque ω
associe la fonction t → X t (ω).
La théorie moderne des probabilités repose sur les résultats fondamentaux de Kolmogorov
(1933) qui permettent de construire sur l’ensemble des fonctions de R + dans R une tribu
qui rend l’application X mesurable de (Ω, A) vers R
R+ (et permet donc de parler de
fonction aléatoire). Cette tribu est la plus petite tribu qui rend les applications x → x t
mesurables de R
R+ dans R pour tout t > 0 et est appelée tribu produit. Sa construction
est décrite dans [25] et détaillée dans [58] et [60]. Elle va en particulier permettre de
caractériser la loi du processus (i.e. une probabilité sur un espace de trajectoires), par la
connaissance des lois de vecteurs aléatoires (probabilités sur R
k ).
Théorème 4.2.2 (Kolmogorov, 1933) La loi d’un processus (X t , t ≥ 0), probabilité
sur R
R+ , est caractérisée par ses lois marginales de dimension finie, définies comme étant
les lois des k-uplets (X t1 , ..., X t k ), pour tous temps t 1 , ..., t k .
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