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CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Proposition 4.1.3 Pour chaque t fixé, la suite de variables aléatoires (Y
n
t ) n converge en
loi, quand n tend vers l’infini, vers une variable aléatoire de loi normale, centrée et de
variance t.
Preuve. Puisque
nt−[nt]
√
n
≤
1
√
n
, la quantité E
nt−[nt]
√
n
Z [nt]+1
2
tend vers 0 quand n tend
vers l’infini. Ainsi, la suite de variables aléatoires
nt−[nt]
√
n
Z [nt]+1
n
converge en moyenne
quadratique et donc en loi vers 0. Par ailleurs, pour chaque n, les variables aléatoires
X [nt]
√
n
et
nt−[nt]
√
n
Z [nt]+1 sont indépendantes. Nous pouvons alors utiliser le théorème de Lévy (voir
[55] Théorème 6.3.9) qui caractérise la convergence en loi de la suite (Y
n
t ) n à l’aide de la
convergence des fonctions caractéristiques. Soit u ∈ R. Nous avons
E
e
iuY n
t
= E
e
iu
X [nt]
√
n
E
e
iu
nt−[nt]
√
n
Z [nt]+1
,
et cette quantité converge vers e
−
t u 2
2
quand n tend vers l’infini. Cela entraîne que pour
chaque t fixé, la suite de variables aléatoires (Y
n
t ) n converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale N (0, t), centrée et de variance t.
Ces convergences en loi à t fixé ne sont pas suffisantes pour caractériser la convergence
d’une fonction aléatoire du temps. Nous verrons dans le paragraphe suivant qu’il est
nécessaire d’avoir au moins la convergence de tout p-uplet de coordonnées, ce que nous
allons montrer maintenant.
Proposition 4.1.4 (i) Pour tout p-uplet de temps 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p , la suite de
vecteurs aléatoires (X
n
t1 , X
n
t2 , · · · , X
n
tp ) converge en loi, lorsque n tend vers l’infini, vers le
p-uplet (B t1 , B t2 , · · · , B tp ). La loi du vecteur (B t1 , B t2 , · · · , B tp ) est entièrement caractérisée par le fait que les accroissements (B t1 , B t2 − B t1 , · · · , B tp − B tp−1 ) sont indépendants
et que pour chaque t i , la variable aléatoire B ti suit la loi normale centrée de variance t i .
(ii) La suite de vecteurs aléatoires (Y
n
t1 , Y
n
t2 , · · · , Y
n
tp ) converge également en loi vers
(B t1 , B t2 , · · · , B tp ).
Preuve. Considérons une suite finie de temps 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p . Nous savons que
les variables X
n
t1 , X
n
t2 − X
n
t1 , · · · , X
n
tp − X
n
tp−1 sont indépendantes, et de plus,
X
n
tj − X
n
tj−1 =
1
√
n
Z [ntj−1]+1 + · · · + Z [ntj ]
=
[nt j ] − [nt j−1 ]
√
n
×
Z [ntj−1]+1 + · · · + Z [ntj ]
[nt j ] − [nt j−1 ]
.
Le premier terme du membre de droite tend vers
√ t j − t j−1 et le deuxième converge
en loi vers une variable aléatoire normale centrée réduite. Puisque les coordonnées sont
indépendantes, nous en déduisons (par une nouvelle utilisation du Théorème de Lévy),
que
(X
n
t1 , X
n
t2 − X
n
t1 , · · · , X
n
tp − X
n
tp−1 )
en loi
−→
n→∞
(W t1 , W t2−t1 , · · · , W tp−tp−1 )
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CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Proposition 4.1.3 Pour chaque t fixé, la suite de variables aléatoires (Y
n
t ) n converge en
loi, quand n tend vers l’infini, vers une variable aléatoire de loi normale, centrée et de
variance t.
Preuve. Puisque
nt−[nt]
√
n
≤
1
√
n
, la quantité E
nt−[nt]
√
n
Z [nt]+1
2
tend vers 0 quand n tend
vers l’infini. Ainsi, la suite de variables aléatoires
nt−[nt]
√
n
Z [nt]+1
n
converge en moyenne
quadratique et donc en loi vers 0. Par ailleurs, pour chaque n, les variables aléatoires
X [nt]
√
n
et
nt−[nt]
√
n
Z [nt]+1 sont indépendantes. Nous pouvons alors utiliser le théorème de Lévy (voir
[55] Théorème 6.3.9) qui caractérise la convergence en loi de la suite (Y
n
t ) n à l’aide de la
convergence des fonctions caractéristiques. Soit u ∈ R. Nous avons
E
e
iuY n
t
= E
e
iu
X [nt]
√
n
E
e
iu
nt−[nt]
√
n
Z [nt]+1
,
et cette quantité converge vers e
−
t u 2
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quand n tend vers l’infini. Cela entraîne que pour
chaque t fixé, la suite de variables aléatoires (Y
n
t ) n converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale N (0, t), centrée et de variance t.
Ces convergences en loi à t fixé ne sont pas suffisantes pour caractériser la convergence
d’une fonction aléatoire du temps. Nous verrons dans le paragraphe suivant qu’il est
nécessaire d’avoir au moins la convergence de tout p-uplet de coordonnées, ce que nous
allons montrer maintenant.
Proposition 4.1.4 (i) Pour tout p-uplet de temps 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p , la suite de
vecteurs aléatoires (X
n
t1 , X
n
t2 , · · · , X
n
tp ) converge en loi, lorsque n tend vers l’infini, vers le
p-uplet (B t1 , B t2 , · · · , B tp ). La loi du vecteur (B t1 , B t2 , · · · , B tp ) est entièrement caractérisée par le fait que les accroissements (B t1 , B t2 − B t1 , · · · , B tp − B tp−1 ) sont indépendants
et que pour chaque t i , la variable aléatoire B ti suit la loi normale centrée de variance t i .
(ii) La suite de vecteurs aléatoires (Y
n
t1 , Y
n
t2 , · · · , Y
n
tp ) converge également en loi vers
(B t1 , B t2 , · · · , B tp ).
Preuve. Considérons une suite finie de temps 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p . Nous savons que
les variables X
n
t1 , X
n
t2 − X
n
t1 , · · · , X
n
tp − X
n
tp−1 sont indépendantes, et de plus,
X
n
tj − X
n
tj−1 =
1
√
n
Z [ntj−1]+1 + · · · + Z [ntj ]
=
[nt j ] − [nt j−1 ]
√
n
×
Z [ntj−1]+1 + · · · + Z [ntj ]
[nt j ] − [nt j−1 ]
.
Le premier terme du membre de droite tend vers
√ t j − t j−1 et le deuxième converge
en loi vers une variable aléatoire normale centrée réduite. Puisque les coordonnées sont
indépendantes, nous en déduisons (par une nouvelle utilisation du Théorème de Lévy),
que
(X
n
t1 , X
n
t2 − X
n
t1 , · · · , X
n
tp − X
n
tp−1 )
en loi
−→
n→∞
(W t1 , W t2−t1 , · · · , W tp−tp−1 )
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