échelle spatiale d’ordre
1
√
n
. Cette approche intuitive est confirmée par le théorème de la
limite centrale. En effet, les variables aléatoires Z k sont indépendantes et de même loi
centrée réduite. Donc quand t est fixé,
X [nt]
[nt]
en loi
−→
n→∞
W,
(4.1.1)
où W désigne une variable aléatoire de loi normale N (0, 1) centrée réduite. Nous pouvons
alors écrire
X [nt]
√
n
=
X [nt]
[nt]
[nt]
√
n
,
et en utilisant que
√
[nt]
√
n
converge vers
√
t quand n tend vers l’infini, nous en déduisons la
Proposition 4.1.1 Pour tout t fixé, la suite de variables aléatoires (X
n
t ) n définie par
X
n
t =
1
√
n
[nt]
k=1
Z k =
X [nt]
√
n
,
(4.1.2)
converge en loi quand n tend vers l’infini, vers une variable aléatoire de loi normale,
centrée et de variance t.
Remarque 4.1.2 1) Si nous supposions que les variables aléatoires Z k étaient de moyenne
m = 0, alors nous aurions un comportement asymptotique différent. En effet, la loi des
grands nombres entraînerait la convergence presque-sûre de la suite de variables aléatoires
X [nt]
n
vers mt. Ainsi, la variable aléatoire X [nt] serait d’ordre n et la limite de
X [nt]
n
serait
déterministe.
2) Soient b et σ deux réels. Pour tout t fixé, la suite de variables aléatoires définies par
W
n
t =
[nt]
k=1
σ
√
n
Z k +
b
n
(4.1.3)
converge en loi vers σW t + bt quand n tend vers l’infini, où W t suit la loi normale
N (0,t), centrée et de variance t. La limite est alors la somme d’un terme déterministe
qui représente le comportement moyen du processus et d’une variable aléatoire normale
de variance σ
2 t qui modélise les fluctuations autour de cette tendance moyenne.
Nous pouvons également considérer l’approximation linéaire
Y
n
t =
X [nt]
√
n
+
nt − [nt]
√
n
Z [nt]+1 .
4.1. CONVERGENCE FINI-DIMENSIONNELLE DE MARCHES ...
3
8
1
√
n
. Cette approche intuitive est confirmée par le théorème de la
limite centrale. En effet, les variables aléatoires Z k sont indépendantes et de même loi
centrée réduite. Donc quand t est fixé,
X [nt]
[nt]
en loi
−→
n→∞
W,
(4.1.1)
où W désigne une variable aléatoire de loi normale N (0, 1) centrée réduite. Nous pouvons
alors écrire
X [nt]
√
n
=
X [nt]
[nt]
[nt]
√
n
,
et en utilisant que
√
[nt]
√
n
converge vers
√
t quand n tend vers l’infini, nous en déduisons la
Proposition 4.1.1 Pour tout t fixé, la suite de variables aléatoires (X
n
t ) n définie par
X
n
t =
1
√
n
[nt]
k=1
Z k =
X [nt]
√
n
,
(4.1.2)
converge en loi quand n tend vers l’infini, vers une variable aléatoire de loi normale,
centrée et de variance t.
Remarque 4.1.2 1) Si nous supposions que les variables aléatoires Z k étaient de moyenne
m = 0, alors nous aurions un comportement asymptotique différent. En effet, la loi des
grands nombres entraînerait la convergence presque-sûre de la suite de variables aléatoires
X [nt]
n
vers mt. Ainsi, la variable aléatoire X [nt] serait d’ordre n et la limite de
X [nt]
n
serait
déterministe.
2) Soient b et σ deux réels. Pour tout t fixé, la suite de variables aléatoires définies par
W
n
t =
[nt]
k=1
σ
√
n
Z k +
b
n
(4.1.3)
converge en loi vers σW t + bt quand n tend vers l’infini, où W t suit la loi normale
N (0,t), centrée et de variance t. La limite est alors la somme d’un terme déterministe
qui représente le comportement moyen du processus et d’une variable aléatoire normale
de variance σ
2 t qui modélise les fluctuations autour de cette tendance moyenne.
Nous pouvons également considérer l’approximation linéaire
Y
n
t =
X [nt]
√
n
+
nt − [nt]
√
n
Z [nt]+1 .
4.1. CONVERGENCE FINI-DIMENSIONNELLE DE MARCHES ...
3
8