CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Nous référerons de manière privilégiée aux livres de Comets–Meyre [25], Ikeda–Watanabe
[40], Karatzas–Shreve [45], Revuz–Yor [66].
4.1 Convergence fini-dimensionnelle de marches aléatoires renormalisées
Nous allons donner une approche intuitive de la définition et de l’existence du mouvement
brownien, en ébauchant sa construction comme limite de marches aléatoires renormalisées
en temps et en espace.
Une marche aléatoire simple symétrique sur Z et nulle en 0 saute d’une unité d’espace
pendant chaque unité de temps. Ce type de modèle semble inadéquat dès lors que l’on
considère des mouvements très erratiques et qui semblent varier presque continûment,
comme les mouvements de micro-organismes, d’insectes, de particules de pollen à la surface de l’eau. Dans de telles situations, les échelles de taille sont très petites et les changements de position très rapides. Néanmoins les déplacements peuvent être vus comme
ceux d’une marche aléatoire accélérée et vue de loin. Un changement d’échelles d’espace
et de temps va permettre, à partir d’une marche aléatoire simple symétrique nulle en 0,
de définir l’objet limite décrivant ce type de comportement, à savoir le mouvement brownien. La bonne échelle va être donnée par le théorème de la limite centrale. Comme le pas
d’espace et le pas de temps vont tendre vers 0, l’objet limite sera une fonction aléatoire
définie sur R + et à valeurs réelles.
Fixons un intervalle de temps [0, t]. Nous allons effectuer un changement d’échelles sur
une marche aléatoire simple symétrique afin d’obtenir un objet limite non dégénéré.
Soit (Z n ) n une suite de variables aléatoires indépendantes et équidistribuées, telles que
P(Z 1 = 1) = P(Z 1 = −1) =
1
2
.
Nous changeons le temps de telle sorte que les sauts aient lieu à tous les temps
1
n
. Il y aura
donc [nt] sauts sur l’intervalle [0, t], où [nt] désigne la partie entière de nt. Nous étudions
alors la marche aléatoire X, définie aux temps [nt] :
X [nt] =
[nt]
k=1
Z k ; X 0 = 0.
Notre but est d’en connaître le comportement asymptotique, quand n tend vers l’infini.
Remarquons que comme l’individu saute tous les temps
1
n
, cette limite rend les changements de position très rapides.
Comme l’espérance de X [nt] est nulle et que sa variance vaut [nt], la renormalisation
naturelle, pour avoir un objet probabiliste convergeant quand n tend vers l’infini, est une
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Nous référerons de manière privilégiée aux livres de Comets–Meyre [25], Ikeda–Watanabe
[40], Karatzas–Shreve [45], Revuz–Yor [66].
4.1 Convergence fini-dimensionnelle de marches aléatoires renormalisées
Nous allons donner une approche intuitive de la définition et de l’existence du mouvement
brownien, en ébauchant sa construction comme limite de marches aléatoires renormalisées
en temps et en espace.
Une marche aléatoire simple symétrique sur Z et nulle en 0 saute d’une unité d’espace
pendant chaque unité de temps. Ce type de modèle semble inadéquat dès lors que l’on
considère des mouvements très erratiques et qui semblent varier presque continûment,
comme les mouvements de micro-organismes, d’insectes, de particules de pollen à la surface de l’eau. Dans de telles situations, les échelles de taille sont très petites et les changements de position très rapides. Néanmoins les déplacements peuvent être vus comme
ceux d’une marche aléatoire accélérée et vue de loin. Un changement d’échelles d’espace
et de temps va permettre, à partir d’une marche aléatoire simple symétrique nulle en 0,
de définir l’objet limite décrivant ce type de comportement, à savoir le mouvement brownien. La bonne échelle va être donnée par le théorème de la limite centrale. Comme le pas
d’espace et le pas de temps vont tendre vers 0, l’objet limite sera une fonction aléatoire
définie sur R + et à valeurs réelles.
Fixons un intervalle de temps [0, t]. Nous allons effectuer un changement d’échelles sur
une marche aléatoire simple symétrique afin d’obtenir un objet limite non dégénéré.
Soit (Z n ) n une suite de variables aléatoires indépendantes et équidistribuées, telles que
P(Z 1 = 1) = P(Z 1 = −1) =
1
2
.
Nous changeons le temps de telle sorte que les sauts aient lieu à tous les temps
1
n
. Il y aura
donc [nt] sauts sur l’intervalle [0, t], où [nt] désigne la partie entière de nt. Nous étudions
alors la marche aléatoire X, définie aux temps [nt] :
X [nt] =
[nt]
k=1
Z k ; X 0 = 0.
Notre but est d’en connaître le comportement asymptotique, quand n tend vers l’infini.
Remarquons que comme l’individu saute tous les temps
1
n
, cette limite rend les changements de position très rapides.
Comme l’espérance de X [nt] est nulle et que sa variance vaut [nt], la renormalisation
naturelle, pour avoir un objet probabiliste convergeant quand n tend vers l’infini, est une
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