Chapitre 4
Mouvement brownien et processus de
diffusion
Randomness : vient du vieux terme de vénerie "randon", à propos de "la course impétueuse et rapide d’un animal sauvage autour de son terroir". Ce terme a aussi donné le
mot randonnée. (Dictionnaire Littré).
Les exemples de marches aléatoires développés dans le chapitre 2 sont très simples, mais
montrent toutefois que les calculs donnant les probabilités d’atteinte de barrières, les
temps moyens avant d’être piégé ou la probabilité invariante, deviennent vite compliqués.
On peut imaginer que des dynamiques plus complexes (dimension plus grande, forme
compliquée du domaine spatial, ...) peuvent amener de grandes difficultés techniques.
Nous allons dépasser cette difficulté en considérant des approximations de ces marches
aléatoires dans des échelles spatiale et temporelle bien choisies. Ces approximations sont
des processus aléatoires définis pour tout temps de R + et presque-sûrement à trajectoires
continues. Leur prototype est le mouvement brownien, fondamental dans la modélisation
probabiliste et obtenu comme limite de marches aléatoires simples symétriques renormalisées. Ce processus est presque-sûrement à trajectoires continues et nulle part dérivables.
Le mouvement brownien est un processus fondamental en probabilités, aux propriétés
innombrables. Toutefois nous ne donnons dans ce livre que ses particularités les plus
importantes, liées à la propriété de martingale et à la propriété de Markov. Grâce au
mouvement brownien, nous allons pouvoir modéliser des dynamiques temporelles plus
sophistiquées et définir des équations différentielles perturbées aléatoirement, appelées
équations différentielles stochastiques. Pour cela, il est nécessaire de donner un sens à une
intégrale par rapport au mouvement brownien. C’est l’objet du calcul stochastique dont
nous donnerons les éléments essentiels. Grâce aux équations différentielles stochastiques,
nous pourrons proposer de nouveaux modèles de dynamiques de taille de population ou
de proportion d’allèles ou de déplacements spatiaux.
Il existe une très riche littérature sur le mouvement brownien, le calcul stochastique et
les équations différentielles stochastiques et la liste de nos références n’est pas exhaustive.
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
S. Méléard, Modèles aléatoires en Ecologie et Evolution,
Mathématiques et Applications 77, DOI 10.1007/978-3-662-49455-4_4
81
Mouvement brownien et processus de
diffusion
Randomness : vient du vieux terme de vénerie "randon", à propos de "la course impétueuse et rapide d’un animal sauvage autour de son terroir". Ce terme a aussi donné le
mot randonnée. (Dictionnaire Littré).
Les exemples de marches aléatoires développés dans le chapitre 2 sont très simples, mais
montrent toutefois que les calculs donnant les probabilités d’atteinte de barrières, les
temps moyens avant d’être piégé ou la probabilité invariante, deviennent vite compliqués.
On peut imaginer que des dynamiques plus complexes (dimension plus grande, forme
compliquée du domaine spatial, ...) peuvent amener de grandes difficultés techniques.
Nous allons dépasser cette difficulté en considérant des approximations de ces marches
aléatoires dans des échelles spatiale et temporelle bien choisies. Ces approximations sont
des processus aléatoires définis pour tout temps de R + et presque-sûrement à trajectoires
continues. Leur prototype est le mouvement brownien, fondamental dans la modélisation
probabiliste et obtenu comme limite de marches aléatoires simples symétriques renormalisées. Ce processus est presque-sûrement à trajectoires continues et nulle part dérivables.
Le mouvement brownien est un processus fondamental en probabilités, aux propriétés
innombrables. Toutefois nous ne donnons dans ce livre que ses particularités les plus
importantes, liées à la propriété de martingale et à la propriété de Markov. Grâce au
mouvement brownien, nous allons pouvoir modéliser des dynamiques temporelles plus
sophistiquées et définir des équations différentielles perturbées aléatoirement, appelées
équations différentielles stochastiques. Pour cela, il est nécessaire de donner un sens à une
intégrale par rapport au mouvement brownien. C’est l’objet du calcul stochastique dont
nous donnerons les éléments essentiels. Grâce aux équations différentielles stochastiques,
nous pourrons proposer de nouveaux modèles de dynamiques de taille de population ou
de proportion d’allèles ou de déplacements spatiaux.
Il existe une très riche littérature sur le mouvement brownien, le calcul stochastique et
les équations différentielles stochastiques et la liste de nos références n’est pas exhaustive.
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
S. Méléard, Modèles aléatoires en Ecologie et Evolution,
Mathématiques et Applications 77, DOI 10.1007/978-3-662-49455-4_4
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