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CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
I.2 - Pour tous n, i, j, z 0 , . . . , z n−1 ∈ N tels que P(Z 0 = z 0 , . . . , Z n−1 = z n−1 , Z n = i) > 0,
montrer que
P(Z n+1 = j|Z 0 = z 0 , . . . , Z n−1 = z n−1 , Z n = i, E) =
P(E|Z 0 = j)IP (Z 1 = j|Z 0 = i)
P(E|Z 0 = i)
.
I.3 - En déduire une expression de P(Z n+1 = j|Z 0 = z 0 , . . . , Z n−1 = z n−1 , Z n = i, E) en
fonction de i, j, q et P(Z 1 = j|Z 0 = i).
I.4 - Montrer que (Z
e
n ; n ≥ 0) est une chaîne de Markov dont on identifiera le noyau de
transition.
I.5 - En déduire que (Z
e
n ; n ≥ 0) est une chaîne de Bienaymé-Galton-Watson dont la
fonction génératrice g
e de la loi de reproduction μ
e est définie par g
e (s) = q
−1 g(qs) pour
tout s ∈ [0, 1].
Partie II
On suppose désormais que μ est une loi de Poisson de paramètre θ > 1 : μ(k) = e
−θ θ
k /k!
pour tout k ∈ N.
II.1 - Donner la fonction génératrice g de la loi μ. Quelle est l’équation vérifiée par q =
IP (E|Z 0 = 1) ?
II.2 - Montrer que e
θ−1 > θ. En déduire que q < 1/θ.
II.3 - Quelle est la loi de reproduction μ
e de la chaîne (Z
e
n ; n ≥ 0) ?
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