3.8. EXERCICES
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avec par convention g 0 (s) = s = h 0 (s).
b) Montrer que pour tout λ > 0, il existe une suite d’entiers (m n ) n≥0 telle que
P(X mn+1 > 0) ≤ 1 − exp(−λ/n) ≤ P(X mn > 0).
Montrer alors que
lim
n→∞
m n
n
=
2
σ 2 λ
.
c) En déduire que
P(X n+mn = 0)
n−1
k=0
f
P(X k+mn = 0)
≤ E
e
−λZn/n
≤ P(X n+mn+1 = 0)
n−1
k=0
f
P(X k+mn+1 = 0)
.
6 - On admet que
lim
n→∞
log
E
e
−λZn/n
= lim
n→∞
−
2f
(1)
σ 2
n−1
k=0
1
k + m n
= −
2f
(1)
σ 2 log
1 +
σ
2 λ
2
. (3.8.34)
a) Préciser alors la convergence de Z n /n lorsque n tend vers l’infini. On utilisera le fait
qu’une loi Gamma G de paramètres (α, θ), dont la densité est égale à
x α−1 e −x/θ
Γ(α)θ α 1 {x>0} , est
caractérisée par sa transformée de Laplace
E
e
−λG
= (1 + θλ)
−α = exp
− α log(1 + θλ)
,
∀ λ ≥ 0.
b) Que pouvez-vous dire du comportement asymptotique de Z n − n E(I) ? Commenter ce
résultat en liaison avec la question 4).
Exercice 3.8.4 Chaîne de Bienaymé-Galton-Watson conditionnée à l’extinction.
Soit (Z n ; n ≥ 0) une chaîne de Bienaymé-Galton-Watson de loi de reproduction μ =
(μ(k), k ∈ N), vérifiant μ(0) > 0 et
k≥0 kμ(k) ∈ ]1, +∞[.
On note g la fonction génératrice de μ, E l’événement {lim n→∞ Z n = 0} et (Z
e
n ; n ≥ 0) la
chaîne conditionnée à l’extinction : la loi de (Z
e
n ; n ≥ 0) est définie par
P(Z
e
0 = z 0 , . . . , Z
e
n = z n ) = P(Z 0 = z 0 , . . . , Z n = z n |E) pour tout n, z 0 , . . . , z n ∈ N.
Partie I
I.1 - Que peut-on dire de la probabilité d’extinction q = P(E|Z 0 = 1) ?
Pour i ∈ N, exprimer P(E|Z 0 = i) en fonction de q.
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