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CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Exercice 3.8.3 Un modèle d’île avec immigration
On s’intéresse ici à une population située sur une île. La taille de la population à l’instant
n est décrite par un processus de Galton-Watson (X n ) n≥0 :
X 0 = 1,
X n+1 =
Xn
i=1
Y n,i ,
où les Y n,i sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées comme
une variable aléatoire Y de variance σ
2 finie. On suppose en outre que P(Y = 1) < 1.
1 - Quelles hypothèses de modélisation sont faites ici ? Quand la population survit-elle
avec probabilité strictement positive ?
On suppose dans le reste de l’exercice que E(Y ) = 1 et Var(Y ) = σ
2 < +∞. Rappelons
alors que lim n→∞ n P(X n > 0) =
2
σ 2 . (Voir Lemme 3.2.5)
2 -On veut que la population puisse survivre jusqu’à un temps n grand avec une probabilité
d’au moins ε ∈ (0, 1). Quelle doit alors être la taille initiale minimale x 0 de la population ?
On souhaite maintenant prendre en compte des immigrations aléatoires d’un continent
vers l’île. Pour ce faire, on suppose que la taille de la population est décrite par le processus
(Z n ) n≥0 défini par :
Z 0 = 1,
Z n+1 =
Zn
i=1
Y n,i + I n+1 ,
où les variables I n sont indépendantes et de même loi, distribuées comme une variable
aléatoire I ≥ 0 et indépendantes de tous les Y k,j , k, j ≥ 0. On suppose également que
E(I) < +∞.
3 - Quelles hypothèses de modélisation fait-on ici ?
4 - Montrer que (Z n − n E(I)) n est une martingale. A quoi pourrait-on s’attendre pour
l’évolution de la taille de la population sur l’île ?
Nous allons étudier en détail le comportement asymptotique de Z n . Pour cela, notons g
la fonction génératrice de Y et f celle de I.
5 - Notons h n la fonction génératrice de Z n (issu de Z 0 = 1).
a) Montrer que pour tout n ≥ 0 et s ∈ [0, 1] :
h n+1 (s) = h n (g(s))f (s).
En déduire que, si on note g k (s) = g ◦ g ◦ . . . ◦ g la composée kième de g, alors
h n (s) = g n (s)
n−1
k=0
f (g k (s)),
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